Гомоморфизм

Не следует путать с «гомеоморфизм».

Гомоморфизм (греч. ὁμός, «равный», «одинаковый» + μορφή, «вид», «форма») — морфизм в категории алгебраических систем. Это отображение алгебраической системы А, сохраняющий основные операции и основные соотношения.

Например, рассмотрим группы $(G_1,+)\!\,$, $(G_2, \circ)$. Отображение $f \colon G_1 \to G_2\!\,$ называется гомоморфизмом групп $G_1$ и $G_2$, если оно одну групповую операцию переводит в другую: $f(a+b)=f(a)\circ f(b)$.

Связанные определения

• Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.

Наглядные иллюстрации

Вот как наглядно иллюстрирует понятие гомоморфного образа группы Дэниел Горенстейн:

В гомоморфном образе группы «отражается» определённое в этой группе умножение, хотя сама группа как бы уменьшается. Это похоже на рассматривание объекта в перевёрнутую подзорную трубу: его общие черты сохраняются, хотя видимые размеры становятся меньше.

Широко известное среди математиков предложение: Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе прообраза по ядру гомоморфизма — совершенно верное утверждение, которое можно читать как стихотворение.

Важная характеризация простых групп в терминах гомоморфного образа: простая группа может иметь в качестве гомоморфным образом либо тривиальную единичную группу, либо саму себя. И обратно, если группа имеет в качестве гомоморфных образов только тождественный и одноточечный, то она проста. Эта характеризация полезна для наглядного определения проста заданная группа или нет.

Типы гомоморфизмов

• Автоморфизм — изоморфизм на само множество
• Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
• Мономорфизм — однозначный (инъективный) гомоморфизм
• Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
• Эпиморфизм — сюръективный гомоморфизм

Литература

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике — 1970, стр. 332