Динамическая система

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы.

Основные понятия

Реальным физическим системам, моделируемым математическим понятием «динамической системы», приписывается важное свойство детерминированности : зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение. Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени. Обычно состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и представляет собой область в многомерном пространстве или многообразие. Эволюция системы представляется как движение точки фазового пространства. Кривая, описываемая этой точкой называется фазовой кривой или фазовой траекторией. В качестве примера рассмотрим механическую систему, состоящую из груза (материальной точки), движущегося по неподвижному стержню. Допустим, что трение и внешние силы отсутствуют. Положение груза задается одним вещественным числом — его координатой в некоторой фиксированной системе отсчета. Однако знание одной только координаты не задает полностью состояние динамической системы, поскольку не позволяет предсказать ее поведение в будущем. С другой стороны, зная координату и скорость в начальный момент времени, мы можем это сделать, вспомнив второй закон Ньютона (в данном случае скорость постоянна). Говорят, что фазовое пространство такой системы двумерно. Если бы грузов было два, состояние системы описывалось бы четырьмя числами (две координаты и две скорости) и система имела бы четырехмерное фазовое пространство. Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство $X$, множество моментов времени $T$ и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени $T$ может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство $X$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $x$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $v(x)$. Тогда траектория точки $x_0\in X$ будет решением автономного дифференциального уравнения $\frac{dx}{dt}=v(x)$ с начальным условием $x(0)=x_0$. Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть $X$ — произвольное множество, и $f\colon X\to X$ — некоторое отображение множества $X$ на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством $X$ и множеством моментов времени $T=\mathbb N$. Действительно, будем считать, что произвольная точка $x_0\in X$ за время $1$ переходит в точку $x_1=f(x_0)\in X$. Тогда за время $2$ эта точка перейдет в точку $x_2=f(x_1)=f(f(x_1))$ и т. д.

Если отображение $f$ обратимо, можно определить и обратные итерации: $x_{-1}=f^{-1}(x_0)$, $x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_0))$ и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени $T=\mathbb Z$.

Примеры

• Система дифференциальных уравнений

$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=v\\ \frac{dv}{dt}=-kx \end{cases}$

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осцилятором». Её фазовым пространством является плоскость $(x,v)$, где $v$ — скорость точки $x$.Гармонический осцилятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

• Пусть $\varphi$ — угол, задающий положение точки не единичной окружности. Отображение удвоения $f(\varphi)=2\varphi\pmod{2\pi}$, задаёт динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является окружность.

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

1. Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
2. Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
3. Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
4. Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
5. Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

См. также

• Механическая бифуркация