Комплексное число

From Традиция
Jump to navigation Jump to search

Компле́ксные чи́сла[1] — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается C \mathbb{C} . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + i y x + iy , где x x и y y — вещественные числа, i i мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению i 2 = 1 i^2=-1 . Общепринятым произношением является компле́ксное число́, хотя произношение ко́мплексное число́ также встречается.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n n с комплексными коэффициентами имеет ровно n n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры.

Определения[edit | edit source]

Стандартное[edit | edit source]

Формально, комплексное число z z — это упорядоченная пара вещественных чисел ( x , y ) (x, y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

  • ( x , y ) + ( x , y ) = ( x + x , y + y ) (x , y) + (x' , y') = (x + x' , y + y') \,
  • ( x , y ) ( x , y ) = ( x x y y , x y + y x ) . (x , y) \cdot (x' , y') = (xx' - yy' , xy' + yx'). \,

Мнимая единица в такой системе представляется парой i = ( 0 , 1 ) i=(0,1) \, . Поэтому ошибочно определение числа i i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению i 2 = 1 i^2=-1 , так как число ( i ) (-i) также удовлетворяет этому уравнению. Следует также заметить, что выражение вида i = 1 i=\sqrt{-1} некорректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Матричное[edit | edit source]

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида ( x y y x ) \begin{pmatrix} x & y \\ -y & \;\; x \end{pmatrix} с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать ( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \;\; 1 \end{pmatrix} , мнимой единице — ( 0 1 1 0 ) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}

все эти определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел R \mathbb{R} , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена +1

Действия над комплексными числами[edit | edit source]

  • Сложение
    ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Вычитание
    ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c ) + ( b d ) i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Умножение
    ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c b d ) + ( b c + a d ) i (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • Деление
    ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c + b d c 2 + d 2 ) + ( b c a d c 2 + d 2 ) i \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,

Связанные определения[edit | edit source]

Комплексная переменная обычно обозначается z z . Пусть x x и y y суть вещественные числа, такие, что z = x + i y z=x+iy . Тогда

  • Числа x = ( z ) x = \Re(z) или Re ( z ) \operatorname{Re}(z) и y = ( z ) y = \Im(z) или Im ( z ) \operatorname{Im}(z) называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z z .
    • Если x = 0 x=0 , то z z называется мнимым или чисто мнимым.
  • Комплексное число z ¯ = x i y \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z z .
  • Число | z | = x 2 + y 2 = z z ¯ |z| = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\bar z} называется модулем числа z z
  • Угол φ \varphi такой, что cos  Косинус  φ = x | z | 1 \cos \varphi = x \cdot |z|^{-1} и sin  Синус  φ = y | z | 1 \sin \varphi = y \cdot |z|^{-1} , называется аргументом z z .

Представление комплексных чисел[edit | edit source]

Алгебраическая форма[edit | edit source]

Запись комплексного числа z z в виде x + i y x + iy , x , y R x,y \in \mathbb{R} , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учётом тождества i 2 = 1 i^2 = -1 .

Тригонометрическая и показательная формы[edit | edit source]

Если вещественную x x и мнимую y y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | r=|z| и аргумент φ \varphi ( x = r cos  Косинус  φ x=r\cos\varphi , y = r sin  Синус  φ y=r\sin\varphi ), то комплексное число z z можно записать в тригонометрической форме z = r ( cos  Косинус  φ + i sin  Синус  φ ) . z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi). Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера z = r e i φ , z=re^{i\varphi}, где e i φ e^{i\varphi} - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление[edit | edit source]

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x x и y y (или её радиус-вектор, что тоже самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра[edit | edit source]

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид: z n = [ r ( cos  Косинус  φ + i sin  Синус  φ ) ] n = r n ( cos  Косинус  n φ + i sin  Синус  n φ ) , z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi),

где r r — модуль, а φ \varphi — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 г.

Эта формула применима при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа. z 1 / n = [ r ( cos  Косинус  ( φ + 2 π k ) + i sin  Синус  ( φ + 2 π k ) ) ] 1 / n = z^{1/n}=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^{1/n} =
= r 1 / n ( cos  Косинус  φ + 2 π k n + i sin  Синус  φ + 2 π k n ) , = r^{1/n}\left(\cos \frac{\varphi+2\pi k}{n} +i\sin \frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),
k = 0 , 1. . n 1 \quad k=0,1..n-1

Георгий Александров нашел самый общий вид формулы Муавра: ( x + y i ) n = ( x 2 + y 2 ) n [ cos  Косинус  ( n π 2 n π 2 | x | x + n arctg | y | x ) + i | y | y sin  Синус  ( n π 2 n π 2 | x | x + n arctg | y | x ) ] (x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]

где x,y,n - любые действительные числа.

Сопряжённые числа[edit | edit source]

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число z = x + i y z=x+iy , то число z ¯ = x i y \bar z=x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z z (часто обозначается также z z^* ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком. Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: ( x + i y ) + ( x i y ) = 2 x (x+iy)+(x-iy)=2x ( x + i y ) ( x i y ) = x 2 + y 2 (x+iy)(x-iy)=x^2+y^2 Однако, при делении двух сопряженных комплексных чисел получим число комплексное: x + i y x i y = x 2 y 2 x 2 + y 2 + i 2 x y x 2 + y 2 \frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i \, \frac{2xy}{x^2+y^2} В 2016 году российский математик Георгий Александров выявил, что выражение ( x + i y ) n + ( x i y ) n (x+iy)^n+(x-iy)^n также является действительным числом при любой действительной степени n. Тождество Александрова: ( x + i y ) n + ( x i y ) n = 2 ( x 2 + y 2 ) n cos  Косинус  [ n π 2 ( 1 | x | x ) + n arctg ( | y | x ) ] (x+iy)^n+(x-iy)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n} \cos \left [\frac{n\pi}{2}\left (1-\frac{|x|}{x} \right )+n \cdot \operatorname{arctg}\left (\frac{|y|}{x} \right ) \right ]

История[edit | edit source]

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида a + b 1 a+b\sqrt{-1} , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием»[Источник?].

Задача о выражении корней степени n n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ i = 1 i=\sqrt{-1} предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя ([[::en:Caspar Wessel|англ.]]), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году.

Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы (Аргана (фр.)), повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного[edit | edit source]


Обобщения[edit | edit source]

Сноски[edit | edit source]

  1. Иногда ударение ставят на первый слог (в Московской школе)

Числа

натуральные | целые | рациональные | алгебраические | вещественные | комплексные | кватернионы | числа Кэли

иррациональные | трансцендентные


p-адические