Локальный минимум

Локальный минимум — минимум (точка минимума), наблюдающийся в некоторой ограниченной окрестности вокруг себя на области значений функции. Локальный минимум может быть глобальным, если он является минимальным среди всех локальных минимумов функции.

Определение

Пусть дана функция $f : M \subset \R \to \R$, и $x_0 \in M^0$ — внутренняя точка области определения $f$. Тогда $x_0$ называется точкой локального минимума функции $f$, если существует проколотая окрестность $\dot{U}(x_0)$ такая, что

$\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0)$.

Если неравенство выше строгое, то $x_0$ называется точкой строгого локального минимума.

Данное определение может быть распространено на произвольные функции, для типов результатов которых имеют смысл операции сравнения ($>$) и ($\ge$).

Необходимые и достаточные условия существования

• Необходимое условие (лемма Ферма). Пусть функция $f \in \mathcal{D}(x_0)$ дифференцируема в точке локального экстремума $x_0$. Тогда

$f'(x_0) = 0$.

• Достаточное условие. Пусть функция $f \in C(x_0)$ непрерывна в $x_0 \in M^0$, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные

$f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0$.

Тогда $x_0$ является точкой строгого локального минимума.

См. также

• Локальный максимум
• Максимум
• Минимум
• Экстремум