Парадокс Даламбера

Данный парадокс утверждает, что цилиндр (или шар), обтекаемый стационарным ламинарным потоком невязкой несжимаемой жидкости (движущийся в этой жидкости), не испытывает никакого сопротивления своему движению со стороны потока. Сформулирован французским математиком Жаном ле Роном Д’Аламбером в 1752 году.

Описание

При доказательстве парадокса в целях наглядности будем исходить из теоремы Бернулли. Уравнение, выражающее эту теорему, выглядит следующим образом:

p + ρ·|v|²/2 + ρ·g·h = const

Здесь p — статическое давление в потоке жидкости, ρ·|v|²/2 — динамическое (скоростное) давление, а ρ·g·h — геометрическое давление, обусловленное высотой столба жидкости.

Теорема утверждает, что сумма статического, динамического и геометрического давлений в ламинарном потоке несжимаемой жидкости остается постоянной во всех точках потока, соединенных одной линией тока.

Теперь рассмотрим сам парадокс, а именно, обтекание стационарным потоком идеальной (не обладающей вязкостью) несжимаемой жидкости цилиндра радиусом R (см. рис. 1).

рис. 1

Поскольку профиль цилиндра обладает полной симметрией, то из теоремы Бернулли следует, что давление в потоке вблизи точек поверхности цилиндра, симметричных относительно оси x, одинаково. Согласно теореме Паскаля, всякое изменение внешнего давления, осуществляемое в замкнутом объеме жидкости, передается равномерно по всем направлениям. (Для потоков жидкости, как открытых систем, эта теорема, вообще говоря, неверна, но к стационарным ламинарным потокам она вполне применима. В таком случае считается, что потоки замыкаются на бесконечности). В нашем случае в качестве такого изменения выступает изменение скорости потока жидкости над разными точками поверхности цилиндра. Поскольку это изменение передается равномерно по всем направлениям, то передается оно и на поверхность цилиндра. Отсюда, в силу симметрии профиля цилиндра, автоматически следует равенство давлений в точках B и D, что и соответствует отсутствию сопротивления его движению в жидкости. (Силу Архимеда в данном случае мы не учитываем).

Аналогия

Необходимо сказать, что парадоксальность данного заключения относительна. Оно парадоксально только тогда, когда данная модель (то есть обтекание идеальной жидкостью цилиндрического тела) применяется к реальным жидкостям, обладающим вязкостью. Даже если поток этой жидкости является стационарным и ламинарным, он все равно оказывает сопротивление движущемуся в нем телу. Именно благодаря наличию у него вязкости.

В то же время, сегодня известны и такие жидкости, которые обладают нулевой вязкостью — это жидкий гелий при температурах, близких к абсолютному нулю. Экспериментально установлено, что при температурах ниже 2,17°К такой гелий не испытывает сопротивления при течении по тонким капиллярам. Правда он оказывает сопротивление движению погруженного в него макроскопического тела, но это объясняется тем, что сверхтекучий гелий состоит из двух компонент — сверхтекучей и нормальной. Сверхтекучая компонента появляется в гелии при температуре ниже 2,17°К и увеличивается с дальнейшим понижением температуры. Именно она отвечает за сверхтекучее протекание жидкого гелия через тонкие капилляры. Нормальная компонента отвечает за сопротивление жидкого гелия движению погруженного в него макроскопического тела. С понижением температуры доля этой компоненты в сверхтекучем гелии уменьшается. Ниже 1°К основную массу жидкого гелия составляет сверхтекучая компонента (а сегодня уже достигнута температура в доли микрокельвина!). По идее при этом должно наблюдаться, как минимум, существенное уменьшение сопротивления гелия движению погруженного в него макроскопического тела, а как максимум — полное отсутствие такого сопротивления. Но поставить такой опыт чрезвычайно трудно из-за сложности и многоступенчатости установок получения подобных температур. Как в действительности обстоит дело — пока неясно. Вполне возможно, что оно обстоит с точностью до наоборот, и погруженное в такой гелий тело вообще не сдвинется с места, пока вязкие напряжения в гелии не достигнут некоторой критической величины, после чего это тело будет двигаться обычным образом, то есть испытывая сопротивление своему движению.

Анализ парадокса

Более парадоксально то, что уравнение Бернулли, анализ которого неизбежно приводит к парадоксу Д’Аламбера, выводится из уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вязкой жидкости. Для несжимаемой жидкости в векторной форме эти уравнения записываются следующим образом:

ρ[∂v/∂t + (vÑ)v] = ρg — Ñp + ηѲv

Здесь ρ — плотность жидкости; p — статическое давление; η — коэффициент динамической молекулярной вязкости, v — вектор скорости потока жидкости, g — вектор ускорения свободного падения, Ñ — оператор градиента, Ѳ — оператор Лапласа. (В невекторной форме записи это уравнение распадается в систему из трех уравнений, почему и говорится — «уравнения Навье-Стокса»).

Уравнение Бернулли получается из этих уравнений при дополнительном предположении о стационарности и ламинарности потока жидкости. Данное условие означает, что градиент скорости vÑ, а значит и вязкий член ηѲv в уравнениях Навье-Стокса обращаются в нуль. При этом вязкость перестает описываться уравнением Бернулли (хотя само уравнение может применяться к вязким жидкостям — см. дальше), что и приводит к парадоксу Д’Аламбера. С математической точки зрения этот вывод безупречен, поэтому непонятно, как он может приводить к парадоксу.

Возможно, объяснение кроется в том, что уравнения Навье-Стокса применимы только к ньютоновским жидкостям, для которых справедлив закон Ньютона, связывающий вязкие напряжения в жидкости с градиентом скорости в потоке этой жидкости. Коэффициентом пропорциональности в этой связи и является динамическая молекулярная вязкость η. Это означает, что если вывод уравнения Бернулли не содержит ошибки, то последняя заложена в саму основу уравнений Навье-Стокса — закон Ньютона о динамической вязкости (поскольку именно приравнивание к нулю градиента скорости в уравнениях Навье-Стокса приводит к тому, что вязкость перестает описываться уравнением Бернулли). Но справедливость данного закона подтверждена многовековой практикой гидродинамики, поэтому отказываться от него из-за одного лишь парадокса Д’Аламбера не стоит.

Решение

Общепризнано, что решение данного парадокса было найдено немецким математиком и инженером Людвигом Прандтлем в 1904 году в виде теории пограничного слоя. Последняя основана на идее, что вязкость реальной жидкости проявляет себя только в узкой области, непосредственно прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области скорость потока резко изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока на внешней границе области. При этом решение уравнений Навье-Стокса можно разбить на два решения: одно должно учитывать вязкость потока — это решение для пограничного слоя; другое может ограничиться моделью идеальной жидкости — это решение для потока за пределами пограничного слоя. На границе областей оба решения должны согласовываться (сшиваться) между собой.

Для ламинарного внешнего потока пограничный слой, как правило, также является ламинарным. Однако в нем, в отличие от внешней части потока, велик градиент скорости, из-за чего возникает дефицит массы и импульса. При этом поток подтормаживается поверхностью тела, а его «излишки» за счет молекулярного переноса вытесняются набегающим потоком во внешние слои жидкости (в пределах пограничного слоя). В результате за движущим телом возникает зона пониженного давления (застойная зона — см. рис. 2), которая, наряду с вязким трением, отвечает за сопротивление жидкости движению тела (за счет разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела). Это давление частично компенсируется обратным движением жидкости (в пределах того же пограничного слоя) к задней поверхности тела за счет молекулярного переноса (эквивалент обратного течения в турбулентном потоке). Но разность давлений на переднюю и заднюю поверхности тела все равно остается, какой бы малой не была скорость тела. С уменьшением скорости уменьшается только вклад этой разности в общее сопротивление жидкости движению тела.

рис. 2

Таким образом, причина возникновения парадокса Д’Аламбера состоит в том, что при решении уравнений Навье-Стокса не учитывается деление потока жидкости на внешний и пограничный слои. В решении для внешнего потока справедлива обычная форма теоремы Бернулли, но в решении для пограничного слоя она уже не выполняется, поскольку в нем существенны потери скорости потока из-за вязких эффектов. В общем решении эта теорема выполняется неточно из-за тех же эффектов. В парадоксе Д’Аламбера упрощение уравнения Навье-Стокса до уравнения Бернулли (то есть переход к модели идеальной жидкости) распространяется на весь поток. При этом вязкое взаимодействие тела с потоком становится чисто номинальным (роль вязкости при этом сводится, фактически, только к сшивке разных линий тока жидкости в цельный поток), из-за чего и возникает противоречие с экспериментом.

Послесловие

Особенностью теории Прандтля является то, что в ней граничные условия уравнений Навье-Стокса определяются экспериментально. Так, например, зависимость толщины пограничного слоя δ от скорости потока U, расстояния х от передней кромки тела по потоку до других точек тела, плотности жидкости ρ и коэффициента динамической молекулярной вязкости η была установлена именно в эксперименте:

δ ~ √η·х/(U_х·ρ)

Здесь имеется интересная аналогия с квантовой электродинамикой. Последняя также математически безупречна, как и классическая гидродинамика. Однако вскоре после своего создания (в 30-е годы прошлого века) она столкнулась с серьезной трудностью — при рассчете взаимодействия электрона с вакуумом получались бессмысленные (бесконечные) значения заряда и массы электрона. В 1949 году эта трудность была преодолена с помощью так называемой теории перенормировки, суть которой состоит в том, что вместо вычисленных значений заряда и массы электрона в формулы квантовой электродинами подставляются реальные (экспериментально измеренные) значения этих величин. При этом обе «системы отсчета» сшиваются с помощью специального математического аппарата — теории обобщенных функций.

Вполне возможно, что теория пограничного слоя Прандтля для полной строгости нуждается в чем-то подобном…