Парадокс Льюиса Кэррола
Этот парадокс имеет и другое название - "Что черепаха сказала Ахиллесу". Он построен в форме диалога между Ахиллесом и черепахой - героями зеноновской апории "Ахиллес и черепаха". Задача диалога - продемонстрировать некоторые сомнительные моменты в основаниях классической логики.
Диалог начинается с предложения черепахи рассмотреть следующую дедукцию:
A: "Вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу";
B: "Две стороны этого треугольника - вещи, которые равны одному и тому же";
Следовательно,
Z: "Две стороны этого треугольника равны друг другу".
Черепаха спрашивает Ахиллеса, следует ли этот вывод из предложенных посылок, и Ахиллес соглашается, что следует. Затем черепаха спрашивает, может ли помимо Ахиллеса существовать такой читатель евклидовой геометрии, который согласен, что данная дедукция правильная по форме, но не согласен, что А и В - истина. Ахиллес соглашается, что такой читатель может существовать, и что он может считать, что если А и В - истина, то Z должно быть истиной притом, хотя истинность А и В еще не установлена им.
Далее черепаха спрашивает, может ли существовать другой читатель евклидовой геометрии, кто признает, что А и В - истина, но кто еще не согласен, что если А и В - истина, то Z должно быть истиной. Ахиллес соглашается, что такой другой читатель также может существовать. После этого черепаха просит Ахиллеса считать ее этим другим читателем и попробовать логически заставить ее признать, что Z должно быть истиной.
После записывания А, В и Z в своей записной книжке, Ахиллес просит черепаху принять следующую посылку:
C: "Если A и B - истина, Z должен быть истиной".
Черепаха соглашается принять С, если Ахиллес согласится, что с этой посылкой исходная дедукция принимает новую форму:
A: "Вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу";
B: "Две стороны этого треугольника - вещи, которые равны одному и тому же";
C: "Если A и B - истина, Z должен быть истиной";
Следовательно,
Z: "Две стороны этого треугольника равны друг другу".
Ахиллес записывает эту новую форму дедукции в своей записной книжке. Но теперь, когда черепаха принимает посылку С, она все еще отказывается принять заключительный вывод. На требование Ахиллеса - "Если вы принимаете А, В и С, вы должны принять Z", - она замечает, что даже если она принимает С, она все еще не может принять Z, если не уверена в истинности следующей посылки:
D: "Если A, B и C - истина, Z должен быть истиной".
Ахиллес соглашается внести эту новую посылку в рассматриваемую дедукцию и с раздражением восклицает: "Но теперь, когда вы принимаете A, B, C и D, вы, конечно же, принимаете Z?!" На это черепаха невинно замечает: "Давайте рассуждать спокойно. Даже если я принимаю A, B, C и D, я еще не обязана принимать Z, пока не уверена в истинности следующей посылки":
E: "Если A, B, C и D - истина, Z должен быть истиной".
После этого у Ахиллеса опутились руки и он признал свое поражение, поскольку понял, что черепаха ввергает его в бесконечную регрессию, из которой он не видит выхода:
A: "Вещи, которые равны одному и тому же, равны друг другу";
B: "Две стороны этого треугольника - вещи, которые равны одному и тому же";
C: "Если A и B - истина, Z должен быть истиной";
D: "Если A, B и C - истина, Z должен быть истиной";
E: "Если A, B, C и D - истина, Z должен быть истиной";
...
n: "Если A, B, C, D, E, ..., (n-1) - истина, Z должен быть истиной";
Следовательно,
Z: "Две стороны этого треугольника равны друг другу".
Данные рассуждения в точности повторяют рассуждения в зеноновской апории "Ахиллес и черепаха". В последней быстрый Ахиллес не может догнать медлительную черепаху, поскольку как только он пробегает половину расстояния, у оставшейся половины фиксируется своя половина, которую ему еще только предстоит пробежать. Точно также в данном парадоксе как только Ахиллес записывает в своей записной книжке предложенную черепахой посылку, она предлагает новую посылку, на основании которой отказывается принять заключительный вывод.
Приступая к решению данного парадокса, прежде всего следует отметить, что первые две посылки и заключительный вывод в рассматриваемой дедукции представляют собой высказывания предметного языка, тогда как все остальные посылки (вплоть до заключительного вывода) - высказывания метаязыка. (Одной из задач метаязыка является установление истинности высказываний предметного языка или высказываний метаязыка более низкого уровня. Задачей предметного языка является описание окружающей нас действительности). Точнее, каждая из последних посылок представляет собой высказывание своего собственного метазыка, в котором говорится о всех предшествующих высказываниях. В посылке С говорится о высказываниях А и В предметного языка, в посылке D - о высказываниях А и В предметного языка и высказывании С первого метаязыка в данной иерархии метаязыков, в посылке Е - о высказываниях А и В предметного языка и высказываниях С и D первых двух метаязыков в данной иерархии и т.д.
В естественном языке нет разграничения на предметный язык и метаязык, почему и оказывается возможным возникновение таких парадоксов, как "Лжец" (см. парадокс лжеца). Аналогия со "Лжецом" здесь не случайна, поскольку последний также можно представить в виде бесконечной регрессии: "Я лгу, что я лгу, что я лгу, что..." Разница лишь в том, что здесь иерархия метаязыков направлена в обратную сторону, то есть от конца к началу. Но в обоих случаях эта иерархия бесконечна, поскольку не существует такого метаязыка, который мог бы закончить эту иерархию, в котором можно было бы не опасаясь прийти к противоречию установить истинность высказываний не только предшествующего языка, но и своих собственных высказываний. Этот факт составляет основное содержание второй теоремы Геделя о неполноте. В парадоксе Кэррола обыгрывается именно этот факт. В нем не вводится непосредственно деление естественного языка на предметный язык и метаязык, но вся иерархия посылок строится в нем с той же целью, с какой это деление производится в искусственных формальных языках.
Однако этот факт не мешает решению парадокса Кэррола, поскольку на самом деле он является софизмом. Дело в том, что истинность высказывания В не нужно устанавливать, если уже устновлена истинность высказывания А, поскольку высказывание В является частным случаем высказывания А. (Точнее, равенство двух стороны треугольника некоторому отрезку является частным случаем равенства двух вещей некоторой третьей вещи). Это означает, что посылка С формулируется черепахой неправильно, правильно она должна формулироваться так: "Если A - истина, Z должно быть истиной". Соглашаясь с черепахиной формулировкой, Ахиллес делает первый шаг к бесконечной регрессии.
Следующий шаг к этой регрессии он делает, допуская существование читателя евклидовой геометрии, который сомневается в истинности посылки А (и, как следствие, посылки В). Свойство вещей, выражаемое этой посылкой, называется транзитивностью. В геометрии (и теории множеств) оно принимается аксиоматически, то есть без доказательства. Истинность его гарантируется тысячелетним опытом практических измерений и геометрических рассчетов. Соглашаясь с черепахой, что в истинности этого свойства можно сомневаться, Ахиллес автоматически допускает возможность специального установления его истинности, помимо того, что уже сделано в евклидовой геометрии.
Но самый главный шаг к бесконечной регрессии он делает, когда переходит к рассмотрению исходной дедукции, дополненной (черепахой) посылкой С. Истинность посылок А и В действительно связана, поскольку, как уже говорилось, В является частным случаем А. Сомневаться в истинности А также можно, если мы плохо знакомы с основами евклидовой геометрии. Но при этом нельзя переходить к дедуктивным рассуждениям, поскольку они обеспечивают истинность вывода только при УЖЕ УСТАНОВЛЕННОЙ истинности посылок! Игнорируя (вследствие незнания) это требование классической логики, Ахиллес впадает в бесконечную регрессию, поскольку сама структура дедуктивного вывода при этом заставляет его принимать навязываемые черепахой посылки для установления истинности предыдущих посылок.
Поэтому если в начале диалога черепаха оговаривает существование читателя евклидовой геометрии, не согласного с истинностью А и В, то это означает только то, что прежде чем приступить к рассуждениям, мы должны сначала убедить этого читателя в истинности А, знакомя его с основами евклидовой геометрии. Если мы убедим его в этом, то все следующие посылки после В (то есть С, D, E, F, ..., n) не понадобятся, а если не убедим, то рассуждения просто не будут иметь смысла.