Функция (математика)

Отображе́ние или фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Функция как отображение

Наиболее распространенная трактовка понятия функции состоит в его отождествлении с понятием отображения:

Определение. Пусть $X$ и $Y$ — два множества. Закон $F$, согласно которому каждому элементу $x \in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y \in Y$, называется отображением множества $X$ в множество $Y$ или функцией, заданной на $X$ со значениями в $Y$.

Отображения обозначают так:

• $F:\ X \to Y$ или $X\to^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} Y$ для отображения $F$, множества $X$ в множество $Y$.
• $y=F(x)$ или $F:x \mapsto y$ или $x \mapsto^{\!\!\!\!\!\!\!F\,} y$.

При этом:

• Множество $X$ тогда называется о́бластью определе́ния отображения $F$ (обозначается D(f) или D(y).).
• Множество $Y$ — о́бластью значе́ний отображения $F$.
• Элемент $x$ называют аргуме́нтом или незави́симой переме́нной,
• Элемент $y=F(x)$ — значе́нием или зави́симой переме́нной.

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств $X$ и $Y$. Если $X$ и $Y$ — числовые множества, такие, как $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, то отображение называют функцией. Если $X$ или $Y$ многомерны, например, $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$, то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если $X$ — произвольной природы, а $Y$ — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Формальное определение

То, что приведено выше, не может считаться формальным математическим определением, по сути в нём понятие «функция» подменено словом «закон». Некоторые авторы считают функцию основным понятием, то есть в определении не нуждающимся, но чаще всего формальные определения функции строится на основе теории множеств:

Пусть даны два множества $X\!$ и $Y\!$. Отображение $F\!$ множества $X\!$ в множество $Y\!$ есть подмножество $F\subset X \times Y$, такое, что для любого $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$, такой, что $(x,y)\in F$. Здесь $X \times Y$ обозначает прямое произведение множеств $X$ и $Y$.

Дополнение к формальному определению

Подобное определение, однако, исключает определение неоднозначных функций, применяемых в математике (особенно в исчислении функций комплексного переменного).

Пусть даны множества $X$ и $Y$, тогда упорядоченное множество всех пар $f=\left\{(x,y)\right\}$ называется функцией одного аргумента тогда и только тогда, когда для любых $(x',y')\in f$ и $(x'',y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x' \neq x''$.

Фактически это означает, что изменение значения функции может произойти только вследствие изменения её аргумента.

Это же определение легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества $X_{1},X_{2},\ldots,X_n$ и множество $Y$, тогда упорядоченное множество всех кортежей $f=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},y)\right\}$ называется функцией $n$ аргументов тогда и только тогда, когда для любых $(x_{1}',x_{2}',\ldots,x_{n}',y')\in f$ и $(x_{1}'',x_{2}'',\ldots,x_{n}'',y'')\in f$ из $y'\neq y''$ следует, что $x_{n}' \neq x_{n}',\forall x\in [1,n]\cap\mathbb{Z}$.

Смежные понятия

Сужение

Пусть дано отображение $F:X \to Y$, и $M \subset X$. Тогда суже́нием функции $F$ на $M$ называется функция $\left.F\right\vert_{M}$, определяемая равенством $$\left.F\right\vert_{M}(x) = F(x),\; \forall x\in M.$$

Это определение подчеркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

Образ множества

Пусть $M \subset X$. Тогда о́бразом множества $M$ называется подмножество $Y$, определяемое равенством $$F(M) = \{ F(x) \mid x \in M \}.$$

Множество $F(X)$ называется образом отображения $F$.

Прообраз

Пусть задано отображение $F:X \to Y$, $x\in X, \;y\in Y$ и $y=F(x)$. Тогда $x$ называется проо́бразом $y$, а $y$ называется о́бразом $x$. Согласно определению отображения, каждый элемент $x\in X$ должен иметь ровно один образ, но элемент $y\in Y$ может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.

Пример. Пусть дана функция $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, где $F(x) = x^2$. Тогда

• $y = -1$ не имеет прообразов;
• $y = 0$ имеет единственный прообраз $x = 0$;
• $y = 1$ имеет два прообраза: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Полный прообраз элемента

Пусть задано отображение $F:X \to Y$, и $y \in Y$. Тогда множество $\{x\in X \mid F(x) = y\} \subset X$ называется по́лным проо́бразом элемента $y$. Полный прообраз обозначается $F^{-1}(y)$.

Пример. Пусть $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и $F(x) = \sin x$. Тогда $$F^{-1}(1) = \left\{{\pi \over 2}+2\pi k \mid k \in \mathbb{Z}\right\}.$$

Полный прообраз множества

Пусть $N \subset Y$. Тогда проо́бразом множества $N$ называется подмножество $X$, определяемое равенством $$F^{-1}(N) = \{ x \in X \mid F(x) \in N \}.$$

Пример. Пусть $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и $F(x) = \cos x$. Тогда

• $F\left(\left[0, {\pi \over 2}\right]\right) = [0, 1]$,
• $F^{-1}([0,1]) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} \left[-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+ 2\pi n\right]$.

Свойства прообразов и образов

• $F^{-1}(A \cup B) = F^{-1}(A) \cup F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$;
• $F^{-1}(A \cap B) = F^{-1}(A) \cap F^{-1}(B), \; \forall A,B \subset Y$;
• $F(A \cup B) = F(A) \cup F(B),\; \forall A,B \subset X$;
• $F(A \cap B) \subset F(A) \cap F(B), \; \forall A,B \subset X$. Заметим отсутствие равенства в этом случае.

График

Фрагмент графика функции $f(x) = x^3 - 9x$

Пусть дано отображение $F: X \to Y$. Тогда его гра́фиком $\Gamma$ называется множество $$\Gamma = \{ (x,F(x)) \mid x \in X \} \subset X \times Y,$$ где $X \times Y$ обозначает декартово произведение множеств $X$ и $Y$.

• График непрерывной функции $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ является кривой на двумерной плоскости.
• Графиком непрерывной функции $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ является поверхность в трёхмерном пространстве.

Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

Всё же в XVIII веке отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Л. Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Д. Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую функцию в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Л.Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой функции аналитическое выражение, в то время как функция может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все функции допускают аналитическое изображение (правда, у Д. Бернулли речь идёт о непрерывной функции, которая, как установил в 1885 К. Вейерштрасс, всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Л.Эйлера уже ошибочны. Например, он считал, что разложение функции в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» функцией, представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении..

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция $fx$ обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям $x$, содержащимся между $0$ и какой-либо величиной $x$». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от $x$ называть число, которое даётся для каждого $x$ и вместе с $x$ постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него.

См. также

• Композиция функций
• сюръективность
• инъективность
• биективность
• непрерывность
• дифференцируемость
• гладкость
• выпуклость
• рациональность

Различные классы функций:

• Интегрируемые функции
• Интегрируемые по Лебегу функции
• Равномерно непрерывные функции
• Целые функции

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, ч.1, 3 изд., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
• Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т.1-2, 1973,
• Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т.1-2, М., 1975;
• История математики, т.2-3, М., 1970-72.
• Функция. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия». 1995.