Мера (математика)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Мера, мера множества — обобщение понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы; примером может служить мера Лебега (введённая А.Лебегом (1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости).

Мера Лебега[править]

При определении меры Лебега, так же, как при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости (занимаемой множеством) с выбранной единицей измерения; процесс «измерения» меры Лебега также напоминает обычный процесс измерения площади: меру Лебега \(\lambda(\Box)\) любого квадрата \(\Box\) полагают равной его площади; внешнюю (верхнюю) меру \(\lambda^*(A)\) произвольного множества \(A\) полагают равной нижней грани чисел $$\sum_{n} \lambda(\Box_n),$$ взятой по всевозможным покрытиям множества \(A\) счётными совокупностями квадратов \(\{\Box_n \}.\) Внутренняя (нижняя) мера множества \(A\) определяется как разность $$\lambda_*(A) = \lambda(\Box) - \lambda^*(A_\Box),$$ где \(\Box\) — произвольный квадрат, содержащий \(A,\) а \( A_\Box \) — множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в \(A.\)

Множества, для которых $$\lambda_*(A) = \lambda^*(A),$$ называют измеримыми по Лебегу, а общее значение \(\lambda(A)\) внешней и внутренней мер — мерой Лебега.

Геометрические фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле, измеримы по Лебегу, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют неквадрируемые множеств, измеримые по Лебегу.