Парадокс Даламбера

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Данный парадокс утверждает, что цилиндр (или шар), обтекаемый стационарным ламинарным потоком невязкой несжимаемой жидкости (движущийся в этой жидкости), не испытывает никакого сопротивления своему движению со стороны потока. Сформулирован французским математиком Жаном ле Роном Д’Аламбером в 1752 году.

Описание[править]

При доказательстве парадокса в целях наглядности будем исходить из теоремы Бернулли. Уравнение, выражающее эту теорему, выглядит следующим образом:

p + ρ·|v|²/2 + ρ·g·h = const

Здесь p — статическое давление в потоке жидкости, ρ·|v|²/2 — динамическое (скоростное) давление, а ρ·g·h — геометрическое давление, обусловленное высотой столба жидкости.

Теорема утверждает, что сумма статического, динамического и геометрического давлений в ламинарном потоке несжимаемой жидкости остается постоянной во всех точках потока, соединенных одной линией тока.

Теперь рассмотрим сам парадокс, а именно, обтекание стационарным потоком идеальной (не обладающей вязкостью) несжимаемой жидкости цилиндра радиусом R (см. рис. 1).

рис. 1

Поскольку профиль цилиндра обладает полной симметрией, то из теоремы Бернулли следует, что давление в потоке вблизи точек поверхности цилиндра, симметричных относительно оси x, одинаково. Согласно теореме Паскаля, всякое изменение внешнего давления, осуществляемое в замкнутом объеме жидкости, передается равномерно по всем направлениям. (Для потоков жидкости, как открытых систем, эта теорема, вообще говоря, неверна, но к стационарным ламинарным потокам она вполне применима. В таком случае считается, что потоки замыкаются на бесконечности). В нашем случае в качестве такого изменения выступает изменение скорости потока жидкости над разными точками поверхности цилиндра. Поскольку это изменение передается равномерно по всем направлениям, то передается оно и на поверхность цилиндра. Отсюда, в силу симметрии профиля цилиндра, автоматически следует равенство давлений в точках B и D, что и соответствует отсутствию сопротивления его движению в жидкости. (Силу Архимеда в данном случае мы не учитываем).

Аналогия[править]

Необходимо сказать, что парадоксальность данного заключения относительна. Оно парадоксально только тогда, когда данная модель (то есть обтекание идеальной жидкостью цилиндрического тела) применяется к реальным жидкостям, обладающим вязкостью. Даже если поток этой жидкости является стационарным и ламинарным, он все равно оказывает сопротивление движущемуся в нем телу. Именно благодаря наличию у него вязкости.

В то же время, сегодня известны и такие жидкости, которые обладают нулевой вязкостью — это жидкий гелий при температурах, близких к абсолютному нулю. Экспериментально установлено, что при температурах ниже 2,17°К такой гелий не испытывает сопротивления при течении по тонким капиллярам. Правда он оказывает сопротивление движению погруженного в него макроскопического тела, но это объясняется тем, что сверхтекучий гелий состоит из двух компонент — сверхтекучей и нормальной. Сверхтекучая компонента появляется в гелии при температуре ниже 2,17°К и увеличивается с дальнейшим понижением температуры. Именно она отвечает за сверхтекучее протекание жидкого гелия через тонкие капилляры. Нормальная компонента отвечает за сопротивление жидкого гелия движению погруженного в него макроскопического тела. С понижением температуры доля этой компоненты в сверхтекучем гелии уменьшается. Ниже 1°К основную массу жидкого гелия составляет сверхтекучая компонента (а сегодня уже достигнута температура в доли микрокельвина!). По идее при этом должно наблюдаться, как минимум, существенное уменьшение сопротивления гелия движению погруженного в него макроскопического тела, а как максимум — полное отсутствие такого сопротивления. Но поставить такой опыт чрезвычайно трудно из-за сложности и многоступенчатости установок получения подобных температур. Как в действительности обстоит дело — пока неясно. Вполне возможно, что оно обстоит с точностью до наоборот, и погруженное в такой гелий тело вообще не сдвинется с места, пока вязкие напряжения в гелии не достигнут некоторой критической величины, после чего это тело будет двигаться обычным образом, то есть испытывая сопротивление своему движению.

Анализ парадокса[править]

Более парадоксально то, что уравнение Бернулли, анализ которого неизбежно приводит к парадоксу Д’Аламбера, выводится из уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вязкой жидкости. Для несжимаемой жидкости в векторной форме эти уравнения записываются следующим образом:

ρ[∂v/∂t + (vÑ)v] = ρg — Ñp + ηѲv

Здесь ρ — плотность жидкости; p — статическое давление; η — коэффициент динамической молекулярной вязкости, v — вектор скорости потока жидкости, g — вектор ускорения свободного падения, Ñ — оператор градиента, Ѳ — оператор Лапласа. (В невекторной форме записи это уравнение распадается в систему из трех уравнений, почему и говорится — «уравнения Навье-Стокса»).

Уравнение Бернулли получается из этих уравнений при дополнительном предположении о стационарности и ламинарности потока жидкости. Данное условие означает, что градиент скорости vÑ, а значит и вязкий член ηѲv в уравнениях Навье-Стокса обращаются в нуль. При этом вязкость перестает описываться уравнением Бернулли (хотя само уравнение может применяться к вязким жидкостям — см. дальше), что и приводит к парадоксу Д’Аламбера. С математической точки зрения этот вывод безупречен, поэтому непонятно, как он может приводить к парадоксу.

Возможно, объяснение кроется в том, что уравнения Навье-Стокса применимы только к ньютоновским жидкостям, для которых справедлив закон Ньютона, связывающий вязкие напряжения в жидкости с градиентом скорости в потоке этой жидкости. Коэффициентом пропорциональности в этой связи и является динамическая молекулярная вязкость η. Это означает, что если вывод уравнения Бернулли не содержит ошибки, то последняя заложена в саму основу уравнений Навье-Стокса — закон Ньютона о динамической вязкости (поскольку именно приравнивание к нулю градиента скорости в уравнениях Навье-Стокса приводит к тому, что вязкость перестает описываться уравнением Бернулли). Но справедливость данного закона подтверждена многовековой практикой гидродинамики, поэтому отказываться от него из-за одного лишь парадокса Д’Аламбера не стоит.

Решение[править]

Общепризнано, что решение данного парадокса было найдено немецким математиком и инженером Людвигом Прандтлем в 1904 году в виде теории пограничного слоя. Последняя основана на идее, что вязкость реальной жидкости проявляет себя только в узкой области, непосредственно прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области скорость потока резко изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущенного потока на внешней границе области. При этом решение уравнений Навье-Стокса можно разбить на два решения: одно должно учитывать вязкость потока — это решение для пограничного слоя; другое может ограничиться моделью идеальной жидкости — это решение для потока за пределами пограничного слоя. На границе областей оба решения должны согласовываться (сшиваться) между собой.

Для ламинарного внешнего потока пограничный слой, как правило, также является ламинарным. Однако в нем, в отличие от внешней части потока, велик градиент скорости, из-за чего возникает дефицит массы и импульса. При этом поток подтормаживается поверхностью тела, а его «излишки» за счет молекулярного переноса вытесняются набегающим потоком во внешние слои жидкости (в пределах пограничного слоя). В результате за движущим телом возникает зона пониженного давления (застойная зона — см. рис. 2), которая, наряду с вязким трением, отвечает за сопротивление жидкости движению тела (за счет разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела). Это давление частично компенсируется обратным движением жидкости (в пределах того же пограничного слоя) к задней поверхности тела за счет молекулярного переноса (эквивалент обратного течения в турбулентном потоке). Но разность давлений на переднюю и заднюю поверхности тела все равно остается, какой бы малой не была скорость тела. С уменьшением скорости уменьшается только вклад этой разности в общее сопротивление жидкости движению тела.

рис. 2

Таким образом, причина возникновения парадокса Д’Аламбера состоит в том, что при решении уравнений Навье-Стокса не учитывается деление потока жидкости на внешний и пограничный слои. В решении для внешнего потока справедлива обычная форма теоремы Бернулли, но в решении для пограничного слоя она уже не выполняется, поскольку в нем существенны потери скорости потока из-за вязких эффектов. В общем решении эта теорема выполняется неточно из-за тех же эффектов. В парадоксе Д’Аламбера упрощение уравнения Навье-Стокса до уравнения Бернулли (то есть переход к модели идеальной жидкости) распространяется на весь поток. При этом вязкое взаимодействие тела с потоком становится чисто номинальным (роль вязкости при этом сводится, фактически, только к сшивке разных линий тока жидкости в цельный поток), из-за чего и возникает противоречие с экспериментом.

Послесловие[править]

Особенностью теории Прандтля является то, что в ней граничные условия уравнений Навье-Стокса определяются экспериментально. Так, например, зависимость толщины пограничного слоя δ от скорости потока U, расстояния х от передней кромки тела по потоку до других точек тела, плотности жидкости ρ и коэффициента динамической молекулярной вязкости η была установлена именно в эксперименте:

δ ~ √η·х/(Uх·ρ)

Здесь имеется интересная аналогия с квантовой электродинамикой. Последняя также математически безупречна, как и классическая гидродинамика. Однако вскоре после своего создания (в 30-е годы прошлого века) она столкнулась с серьезной трудностью — при рассчете взаимодействия электрона с вакуумом получались бессмысленные (бесконечные) значения заряда и массы электрона. В 1949 году эта трудность была преодолена с помощью так называемой теории перенормировки, суть которой состоит в том, что вместо вычисленных значений заряда и массы электрона в формулы квантовой электродинами подставляются реальные (экспериментально измеренные) значения этих величин. При этом обе «системы отсчета» сшиваются с помощью специального математического аппарата — теории обобщенных функций.

Вполне возможно, что теория пограничного слоя Прандтля для полной строгости нуждается в чем-то подобном…