Преобразование Фурье

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Фурье — математическая операция, сопоставляющая некой функции вещественной переменной — другую функцию (также вещественной переменной). Новая функция включает весовые коэффициенты («амплитуды»), формирующиеся в процессе преобразования исходной функции — к виду суммы гармонических колебаний с определёнными частотами.

Преобразование Фурье функции \(f\) вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой: $$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}\,dx.$$

Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «-» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться.

Кроме этого, существуют разнообразные обобщения этого понятия, которые будут приведены ниже.

Определения, основные свойства[править]

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса \(L_1(\R)\), преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

$$\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.$$

  • Справедливо равенство Парсеваля: если \(f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)\), то преобразование Фурье сохраняет \(L_2\)-норму:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,dw.$$ Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство \(L_2(\R)\). Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех \(f\in L_2(\R)\).

  • Формула обращения:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(w)e^{ix\omega}\,dw$$ справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция \(f\) является достаточно гладкой. Если \(f\in L_2(\R)\), то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний \(e^{i\omega x}\) с частотами \(\omega\), амплитудами \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|f(\omega)|\) и фазовыми сдвигами \(\arg f(\omega)\) соответственно.

  • Теорема о свертке: если \(f,\;g\in L_1(\R)\), тогда

$$\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f}\widehat{g},$$ где $$(f\ast g)(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(t-s)g(s)\,ds.$$ Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и дифференцирование. Если \(f,\;f'\in L_1(\R)\), то

$$\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.$$ Из этой формулы легко выводится формула для \(n\)-й производной: $$\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.$$ Формулы верны и в случае обобщённых функций.

  • Преобразование Фурье и сдвиг.

$$\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(w).$$ Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций \(\delta(x-x_0)\), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

  • Преобразование Фурье и растяжение.

$$\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(w/a).$$

  • Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

$$S(\mathbb{R}):=\{\varphi\in C^{\infty}(R):\forall n,\;m\in\N\;x^nf^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\pm\infty}0\}.$$ Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство \(S^*(\R)\). Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции \(f\in S^*(\R)\) её преобразованием Фурье называется обобщённая функция \(\hat{f}\in S^*(\R)\), действующая на основные функции по правилу $$\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.$$ Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции: $$\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.$$ Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\).

Применения преобразования Фурье[править]

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

Разновидности преобразования Фурье[править]

Многомерное преобразование Фурье[править]

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве \(\R^n\), определяется формулой $$\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx.$$ Здесь \(\omega\) и \(x\) — векторы пространства \(\R^n\), \(x\cdot\omega\) — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой $$f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega.$$ Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции \(f\) в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида \(e^{ix\cdot\omega}\) с амплитудами \(\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|\), частотами \(\omega\) и фазовыми сдвигами \(\arg\hat{f}(\omega)\) соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

  • Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

$$\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).$$

  • Изменяется константа в теореме о свёртке:

$$\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.$$

  • Преобразование Фурье и сжатие координат:

$$\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).$$

$$\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}(A^{-1}\omega).$$

Ряды Фурье[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Ряд Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для \(2\pi\)-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами: $$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.$$ Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой \(2\pi\)-периодической функции имеем $$\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).$$ Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование Фурье[править]

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть \(x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}\) — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен \(f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}\). Выберем какие-нибудь \(n\) точек на комплексной плоскости \(z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}\). Теперь многочлену \(f(t)\) мы можем сопоставить новый набор из \(n\) чисел: \(f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})\). Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел \(f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1}\) существует единственный многочлен \(f(t)\) степени не выше \(n-1\) с такими значениями в \(z_0,\;\ldots,\;z_{n-1}\) соответственно(см. Интерполяция).

Набор \(\{f_k\}\) и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора \(\{x_k\}\). В качестве точек \(z_k\) обычно выбирают корни \(n\)-й степени из единицы: $$z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}.$$ Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины \(n\) напрямую требует порядка \(n^2\) операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за \(O(n\log n)\) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка \(n\) операций.

Оконное преобразование Фурье[править]

$$F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,$$ где \(F(t,\;\omega)\) даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала \(f(t)\) в окрестности времени \(t\).

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию \(W\), эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

Другие варианты[править]

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором \(x_k\) определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщённых обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты[править]

В терминах обработки сигналов, преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где \(\omega\) — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция \(f\) является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции \(F\) представляет амплитуды соответствующих частот (\(\omega\)), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье[править]

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье \(F(\omega)\) и \(G(\omega)\) обозначают фурье компоненты функций \(f(t)\) и \(g(t)\), соответственно. \(f\) и \(g\) должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \(\sqrt{2\pi}\), зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).


  Функция Образ Примечания
1 \(af(t)+bg(t)\,\) \(aF(\omega)+bG(\omega)\,\) Линейность
2 \(f(t-a)\,\) \(e^{-i\omega a}F(\omega)\,\) Запаздывание
3 \(e^{iat}f(t)\,\) \(F(\omega-a)\,\) Частотный сдвиг
4 \(f(at)\,\) \(|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\,\) Если \(a\) большое, то \(f(at)\) сосредоточена около 0 и \(|a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)\) становится плоским
5 \(\frac{d^n f(t)}{dt^n}\,\) \((i\omega)^n F(\omega)\,\) Свойство преобразования Фурье от \(n\)-й производной
6 \(t^n f(t)\,\) \(i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\,\) Это обращение правила 5
7 \((f*g)(t)\,\) \(\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)\,\) Запись \(f*g\) означает свёртку \(f\) и \(g\). Это правило — теорема о свёртке
8 \(f(t)g(t)\,\) \(\frac{(F*G)(\omega)}{\sqrt{2\pi}}\,\) Это обращение 7
9 \(\delta(t)\,\) \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\) \(\delta(t)\) означает дельта-функцию Дирака
10 \(1\,\) \(\sqrt{2\pi}\delta(\omega)\,\) Обращение 9.
11 \(t^n\,\) \(i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)\,\) Здесь, \(n\) — натуральное число, \(\delta^n(\omega)\) — \(n\)-я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
12 \(e^{iat}\,\) \(\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)\,\) Следствие 3 и 10
13 \(\cos(at)\,\) \(\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\,\) Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \(\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,\)
14 \(\sin(at)\,\) \(\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}\,\) Также из 1 и 12
15 \(\exp(-at^2)\,\) \(\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\,\) Показывает, что функция Гаусса \(\exp(-t^2/2)\) совпадает со своим изображением
16 \(W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)\,\) \(\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)\,\) Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент
17 \(\frac{1}{t}\,\) \(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,\) Здесь \(\sgn(\omega)\,\) — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10
18 \(\frac{1}{t^n}\,\) \(-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\,\) Обобщение 17
19 \(\sgn(t)\,\) \(\sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\,\) Обращение 17
20 \(\sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\,\) \(\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)\,\) Здесь \(\mathrm{H}(t)\,\) — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19

Литература[править]

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9>
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1>

См. также[править]

Ссылки[править]