Произведение (математика)

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой первый аргумент складывается столько раз, сколько показывает второй. В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 7*3 обозначает «сложить три раза семёрку», то есть является просто краткой записью для 7+7+7. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями.

Запись

Умножение обозначается звёздочкой $*$, крестиком $\times$, или точкой $\cdot$. Примеры записей: $$e^t*3*x^2$$ $$88\times 7$$ $$\sin(x)\cdot \cos(2x)$$

Знак умножения часто опускают. Так, например, сделано у аргумента косинуса.

Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 5 до 20 обычно записывают как $5\cdot6\cdot7\cdot\ldots\cdot19\cdot20$ .

Широко применяется также символ произведения: $m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n = {\displaystyle\prod_{i=1}^n m_i}$ . Например, произведение $5\cdot7\cdot9\cdot\ldots\cdot37\cdot39$ можно записать кратко так: ${\displaystyle\prod_{i=3}^{20} (2i-1)}$

Произведения, порой, позволяют значительно упрощать формулы, например: $$\displaystyle\prod \limits_{k=2}^n \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac 23 \left (1+\frac{1}{n^2+n}\right )\qquad$$- 18 в. $$\displaystyle\prod \limits_{k=0}^n \cos\left ( 2^k x \right )=\frac {\sin\left ( 2^{n+1}x \right )}{2^{n+1} \sin(x)}\qquad$$ $$\displaystyle\prod \limits_{k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac{k \pi}{n} \right )=\frac {n}{2^{n-1}}$$

Большую роль в исследованиях функций и аппроксимации сложных зависимостей играют суммы произведений и бесконечные произведения. Примерами сказанного являются: $$\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \prod \limits_{m=1}^{2k} \operatorname{ctg}\left ( \frac{m \pi}{2k+1} \right )=\frac {\pi}{4}-1$$ $$\displaystyle\prod \limits_{k=1}^{\infty} \cos\left ( \frac {x}{2^k} \right )=\frac {\sin(x)}{x}$$

Литература

Энциклопедии

• Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб.: 1890—1907.^{о книге}
• Россия/Русская наука/Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб.: 1890—1907.^{о книге}
• Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
• Интегралы и ряды. Элементарные функции.А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев М.: Наука, 1981, 800 с.
• Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Градштейн И.С., Рыжик И.М., 4-е изд. — М. Физматгиз, 1963 - 1100 с.

Ссылки

• Символ произведения
• Замечательное произведение
• Формула Валлиса