Произведение (математика)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой первый аргумент складывается столько раз, сколько показывает второй. В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 7*3 обозначает «сложить три раза семёрку», то есть является просто краткой записью для 7+7+7. Результат умножения называется произведением, а умножаемые числа — множителями или сомножителями.

Запись[править]

Умножение обозначается звёздочкой \(*\), крестиком \(\times\), или точкой \(\cdot\). Примеры записей: $$ e^t*3*x^2 $$ $$88\times 7$$ $$\sin(x)\cdot \cos(2x)$$

Знак умножения часто опускают. Так, например, сделано у аргумента косинуса.

Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 5 до 20 обычно записывают как \(5\cdot6\cdot7\cdot\ldots\cdot19\cdot20\) .

Широко применяется также символ произведения: \(m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots \cdot m_n = {\displaystyle\prod_{i=1}^n m_i}\) . Например, произведение \(5\cdot7\cdot9\cdot\ldots\cdot37\cdot39 \) можно записать кратко так: \({\displaystyle\prod_{i=3}^{20} (2i-1)}\)

Произведения, порой, позволяют значительно упрощать формулы, например: $$\displaystyle\prod \limits_{k=2}^n \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac 23 \left (1+\frac{1}{n^2+n}\right )\qquad$$- 18 в. $$\displaystyle\prod \limits_{k=0}^n \cos\left ( 2^k x \right )=\frac {\sin\left ( 2^{n+1}x \right )}{2^{n+1} \sin(x)}\qquad $$ $$\displaystyle\prod \limits_{k=1}^{n-1} \sin\left ( \frac{k \pi}{n} \right )=\frac {n}{2^{n-1}} $$

Большую роль в исследованиях функций и аппроксимации сложных зависимостей играют суммы произведений и бесконечные произведения. Примерами сказанного являются: $$\displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \prod \limits_{m=1}^{2k} \operatorname{ctg}\left ( \frac{m \pi}{2k+1} \right )=\frac {\pi}{4}-1 $$ $$\displaystyle\prod \limits_{k=1}^{\infty} \cos\left ( \frac {x}{2^k} \right )=\frac {\sin(x)}{x} $$

Литература[править]

Энциклопедии

Ссылки[править]