Словарь терминов элементарной математики

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я

Список статей для координации работ по развитию темы.

И

• Изогональное сопряжение (см. точки изогонально сопряженные)
• Изогонический центр треугольника Построим на сторонах треугольника $ABC$ внешним (внутренним) образом правильные треугольники $ABC_1$, $AB_1C$ и $A_1BC$. Тогда прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (соответственно, вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Торричелли\index{точка Торричелли} или точкой Ферма\index{точка Ферма}.
• Изодинамический центр треугольника Пусть $AD$ и $AE$ — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника $ABC$ и $S_a$ — окружность с диаметром $DE$, окружности $S_b$ и $S_c$ определяются аналогично. Тогда три окружности $S_a,S_b$ и $S_c$ имеют две общие точки $M$ и $N$, причем прямая $MN$ проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$. Данные точки $M$ и $N$ называются изодинамическими центрами треугольника $ABC$.

Н

• Неравенство
  • Йиффа Неравенство Йиффа утверждает, что для угла Брокара $\varphi$ данного треугольника выполнено неравенство $8\varphi^3\le\alpha\beta\gamma$, где $\alpha,\beta,\gamma$ — углы искомого треугольника.
  • Пидо Пусть $a$, $b$, $c$ и $a'$, $b'$, $c'$ — длины сторон треугольников $ABC$ и $A'B'C'$, $S$ и $S'$ — их площади. Тогда $a^2(-{a'}^2+{b'}^2+{c'}^2)+ b^2({a'}^2-{b'}^2+{c'}^2)+ c^2({a'}^2+{b'}^2-{c'}^2)\ge16SS',$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.

О

• Окружность
  • окружность Брокара Треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника называют треугольником Брокара, а описанную окружность этого треугольника (т. е. окружность подобия треугольника) —окружностью Брокара. Диаметр $KO$ этой окружности называют диаметром Брокара.
  • Лемуана Через точку Лемуана данного треугольника проведем прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.
  • Нейберга Пусть вершины $B$ и $C$ треугольника фиксированы, а вершина $A$ движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника $ABC$ остается постоянным. Тогда точка $A$ движется по окружности радиуса $(a/2)\sqrt{{\rm ctg }^2\varphi -3}$, где $a=BC$, которая и называется окружностью Нейберга.
  • описанная Окружность, называется описанной вокруг выпуклого многоугольника, если все вершины данного многоугольника расположены на этой окружности. Сам многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.
  • — Если вокруг данного выпуклого многоугольника можно вписать окружность, то серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Таким образом, вокруг выпуклого многоугольника можно описать не более одной окружности.
  • — Вокруг каждого треугольника можно описать окружность, притом ровно одну. Ее центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров в сторонам треугольника.
  • — Вокруг выпуклого четырехугольник $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^\circ$: $\angle ABC+\angle CDA=180^\circ=\angle BCD+\angle DAB$.
  • окружность подобия см. «треугольник подобия».
  • Тукера треугольника $ABC$, если она проходит через точки пересечения сторон треугольника $ABC$ с продолжениями сторон треугольника $A'B'C'$, полученного из треугольника $ABC$ при гомотетии с центром в точке Лемуана $K$. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности.
  • — Центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K - точка Лемуана, O - центр описанной окружности.
  • Схоуте Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MA_1$, $MB_1$ и $MC_1$ на прямые $BC$, $CA$ и $AB$. Для фиксированного треугольника $ABC$ множество точек $M$, для которых угол Брокара треугольника $A_1B_1C_1$ имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника $ABC$, а другая вне ее. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника $ABC$.
• Ось
  • гиперболы см. «оси коники».
  • ось параболы Ось $Ox$ прямоугольной системы координат, в которой уравнение параболы имеет вид $y^2=2px$, называют осью параболы. Ясно, что ось параболы является её осью симметрии.
  • ось подобия см. «треугольник подобия».
  • ось симметрии см. «симметия осевая»
  • эллипса см. «оси коники»

С

• Симметрия
  • скользящая Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой $l$ и переноса на вектор, параллельный $l$(этот вектор может быть и нулевым).
• Cопряжённые диаметры
  • гиперболы Сопряжёнными диаметрами гиперболы называют пару её диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
  • эллипса Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
  • — Если эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании, то его сопряжённые диаметры являются образами двух перпендикулярных диаметров этой окружности.

Теорема

• • Гаусса Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Пусть $u=AD^2$, $v=BD^2$, $w=CD^2$, $U=BD^2+CD^2-BC^2$, $V=AD^2+CD^2-AC^2$, $W=AD^2+BD^2-AB^2$. Теорема Гаусса утверждает, что $uU^2+vV^2+wW^2=UVW+4uvw$.
  • Карно: Перпендикуляры, опущенные из точек $A_1,B_1,C_1$ на стороны $BC,CA,AB$ треугольника $ABC$, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $A_1B^2+C_1A^2+B_1C^2=B_1A^2+A_1C^2+C_1B^2$.
  • Наполеона Если на сторонах правильного треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.
  • — Отметим, что разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.
  • о группировке масс: Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удаленных точек.
  • о дважды перспективных треугольниках: Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ таких, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$, и прямые $AB_1$, $BC_1$ и $CA_1$ пересекаются в одной точке $O_1$. Тогда прямые $AC_1$, $BA_1$ и $CB_1$ тоже пересекаются в одной точке $O_2$
  • о полном четырехстороннике: Рассмотрим четыре точки $A$, $B$,$C$, $D$. Пусть $P$, $Q$, $R$ — точки пересечения прямых $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$, $AC$ и $BD$ соответственно; $K$ и $L$ — точки пересечения прямой $QR$ с прямыми $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда $(QRKL)=-1$, где $(QRKL)$ — двойное отношение точек $Q,R,K,L$.
  • о трижды перспективных треугольниках: Рассмотрим два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ таких, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$, прямые $AA_1$, $BC_1$ и $CB_1$ пересекаются в одной точке $O_1$ и прямые $AC_1$, $BB_1$ и $CA_1$ пересекаются в одной точке $O_2$. Тогда прямые $AB_1$, $BA_1$ и $CC_1$ также пересекаются в одной точке $O_3$.
  • Рамсея: Пусть $p$, $q$ и $r$ — натуральные числа, причем $p,q \ge r$. Тогда существует число $N=N(p,q,r)$, обладающее следующим свойством: если все $r$-элементные подмножества $N$-элементного множества $S$ произвольным образом разбиты на два непересекающихся семейства $\alpha$ и $\beta$, то либо существует $p$-элементное подмножество множества $S$, все $r$-элементные подмножества которого содержатся в $\alpha$, либо существует $q$-элементное подмножество, все $r$-элементные подмножества которого содержатся в $\beta$.
  • Тебо: На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$. Окружность $S_1$ касается отрезков $BE$ и $EA$ и описанной окружности, окружность $S_2$ касается отрезков $CE$ и $EA$ и описанной окружности. Пусть $I$, $I_1$, $I_2$ и $r$, $r_1$, $r_2$ — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей $S_1$, $S_2$; $\varphi=\angle ADB$. Тогда точка $I$ лежит на отрезке $I_1I_2$, причём $I_1I\colon II_2={\rm tg }^2\frac{\varphi}{2}$, причем $r=r_1\cos^2\frac{\varphi}{2}+r_2\sin^2\frac{\varphi}{2}$ (Тебо).
  • Шаля Теорема Шаля утверждает, что любое движение плоскости является одним из следующего списка: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (включая осевую). Теорема Шаля дает полную классификацию всех движений плоскости.
  • — Часто также бывает удобно воспользоваться тем фактом, что любое движение плоскости есть композиция некоторого количества осевых симметрий (всегда можно обойтись не более, чем тремя).
  • — Аналогичная теорема классифицирует все движения трехмерного пространства: всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением (то есть композицией поворота вокруг определенной оси с параллельным переносом вдоль той же оси, причем как угол, так и вектор могут быть и нулевыми). Движение, меняющее ориентацию, является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.
• Точка
  • бесконечно удаленная см. «центральное проектирование».
  • Торричелли см. «изогонический центр».
  • Ферма см. «изогонический центр».

Точки

• • изогонально сопряженные Пусть на сторонах $BC,CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $A_1,B_1$ и $C_1$, причем прямые $AA_1,BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $P$. Тогда прямые $AA_2,BB_2$ и $CC_2$, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке $Q$. В этом случае точки $P$ и $Q$ называются изогонально сопряженными относительно треугольника $ABC$.
  • изотомически сопряженные Пусть прямые $AP,BP$ и $CP$ пересекают прямые $BC,CA$ и $AB$ в точках $A_1,B_1$ и $C_1$ соответственно, а точки $A_2,B_2$ и $C_2$ выбраны на прямых $BC,CA$ и $AB$ так, что $\overline{BA_2}: \overline{A_2C}=\overline{A_1C}: \overline{BA_1}$, $\overline{CB_2}: \overline{B_2A}=\overline{B_1A}: \overline{CB_1}$ и $\overline{AC_2}: \overline{C_2B}=\overline{C_1B}: \overline{AC_1}$. Тогда прямые $AA_2,BB_2$ и $CC_2$ либо параллельны, либо также пересекаются в одной точке $Q$. В последнем случае точки $P$ и $Q$ называют изотомически сопряженными относительно треугольника $ABC$.
  • постоянные подобных фигур Пусть $l_1$, $l_2$ и $l_3$ — соответственные прямые подобных фигур $F_1$, $F_2$ и $F_3$, пересекающиеся в точке $W$. Пусть $J_1$, $J_2$ и $J_3$ — точки пересечения прямых $l_1$, $l_2$ и $l_3$ с окружностью подобия, отличные от точки $W$. Оказывается, что эти точки зависят только от фигур $F_1$, $F_2$ и $F_3$ и не зависят от выбора прямых $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Точки $J_1$, $J_2$ и $J_3$ и называют постоянными точками подобных фигур $F_1$, $F_2$ и $F_3$, а треугольник $J_1J_2J_3$ называют постоянным треугольником подобных фигур $F_1$, $F_2$ и $F_3$.
  • соответственные Точки $A_1$ и $A_2$ называют соответственными точками подобных фигур $F_1$ и $F_2$, если при поворотной гомотетии, переводящей $F_1$ в $F_2$, точка $A_1$ переходит в $A_2$. Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.
• Треугольник
  • Брокара см. «точка Брокара».
  • подобия Пусть $F_1$, $F_2$ и $F_3$ — три подобные фигуры, $O_1$ — центр поворотной гомотетии, переводящей $F_2$ в $F_3$, точки $O_2$ и $O_3$ определяются аналогично. Если точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ не лежат на одной прямой, то треугольник $O_1O_2O_3$ называют треугольником подобия фигур $F_1$, $F_2$ и $F_3$, а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$ совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия.
  • постоянный См. " {постоянные точки}".
• Треугольники
  • ортологические Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, для которых перпендикуляры, опущенные из точек $A$, $B$, $C$ на прямые $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ пересекаются в одной точке, называются ортологическими. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$ также пересекаются в одной точке.

У

• Угол
  • Брокара Пусть $P$ — {точка Брокара} треугольника $ABC$. Угол $\varphi=\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ называется углом Брокара этого треугольника.
  • вертикальный Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого.
  • между окружностями Пусть две окружности пересекаются в точке $A$. Углом между окружностями называют угол между касательными к окружностям в точке $A$. Очевидно, что если окружности пересекаются в точках $A$ и $B$, то угол между касательными в точке $A$ равен углу между касательными в точке $B$. Аналогично определяется угол между прямой и окружностью.
  • между прямыми
  • ориентированный Величиной ориентированного угла между прямыми $AB$ и $CD$ (обозначение: $\angle(AB,CD)$) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую $AB$ так, чтобы она стала параллельна прямой $CD$. При этом углы, отличающиеся на $n\cdot180^{\circ}$, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми $CD$ и $AB$ не равен ориентированному углу между прямыми $AB$ и $CD$ (они составляют в сумме $180^{\circ}$ или, что по нашему соглашению то же самое, $0^{\circ}$). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) $\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB)$; б) $\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF)$; в) точки $A,B,C,D$, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда $\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC)$.

Ф

• Формула
  • Эйлера Есть много формул, по праву носящих имя великого математика Леонарда Эйлера (4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург). Приведем некоторые из них:
  1. $\frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})$. Одним из следствий этой формулы является равенство $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\dots=\frac{\pi^2}{6}$.
  2. о кривизнах: $\frac{1}{R}=\frac{\cos^2\varphi}{R_1}+\frac{\sin^2\varphi}{R_2}$, где $R$ — радиус кривизны нормального сечения, $R_1, R_2$ — радиусы кривизн главных сечений в той же точке поверхности, а $\varphi$ — угол между направлением данного главного сечения и первым из главных сечений (с радиусом $R_1$).

См. также

• словарь терминов планиметрии