Локальный максимум

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «Строгий локальный максимум»)
Перейти к: навигация, поиск

Локальный максимуммаксимум (точка максимума), наблюдающийся в некоторой ограниченной окрестности вокруг себя на области значений функции. Локальный максимум может быть глобальным, если он является максимальным среди всех локальных максимумов функции.

Определение[править]

Пусть дана функция \(f : M \subset \R \to \R\), и \(x_0 \in M^0\) — внутренняя точка области определения \(f\). Тогда \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f\), если существует проколотая окрестность \(\dot{U}(x_0)\) такая, что

\(\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0)\).

Если неравенство выше строгое, то \(x_0\) называется точкой строгого локального максимума.

Данное определение может быть распространено на произвольные функции, для типов результатов которых имеют смысл операции сравнения (\(\)) и (\(\le\)).

Необходимые и достаточные условия существования[править]

  • Необходимое условие (лемма Ферма). Пусть функция \(f \in \mathcal{D}(x_0)\) дифференцируема в точке локального экстремума \(x_0\). Тогда
\(f'(x_0) = 0\).
  • Достаточное условие. Пусть функция \(f \in C(x_0)\) непрерывна в \(x_0 \in M^0\), и существуют конечные или бесконечные односторонние производные
\(f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0\).

Тогда \(x_0\) является точкой строгого локального максимума.

См. также[править]