Тензор энергии-импульса поля диссипации

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля диссипации — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля диссипации в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики, наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля давления, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля диссипации задаёт плотность силы диссипации, действующей в веществе и тормозящей движение потоков вещества друг относительно друга.

Тензор энергии-импульса поля диссипации является релятивистским обобщением трёхмерного тензора вязких напряжений, используемого в гидродинамике.

Гидродинамика[править]

Для релятивистского описания уравнения движения вязкой и теплопроводной среды в книге [1] используется четырёхмерный тензор вязких напряжений: $$~ \tau_{ik} = - \eta \left( \frac {\partial u_i} {\partial x^k}+ \frac {\partial u_k} {\partial x^i}- \frac{1} {c^2 }u_k u^n \frac {\partial u_i} {\partial x^n} - \frac{1} {c^2 }u_i u^n \frac {\partial u_k} {\partial x^n} \right) - \left( \xi- \frac {2}{3}\eta \right) \frac {\partial u_n} {\partial x^n} \left( g_{ik}- \frac{1} {c^2 }u_i u_k \right), $$

где \(~ \eta \) – коэффициент динамической вязкости, \(~ u^i \) – 4-скорость с контравариантным индексом, \(~ u_k \) – 4-скорость с ковариантным индексом, \(~ \xi \) – коэффициент второй (объёмной) вязкости, \(~ g_{ik} \) – метрический тензор, \(~ c \) – скорость света.

Вид тензора находится из требований, налагаемых законом возрастания энтропии. Данный тензор определяется таким образом, что в системе отсчёта, в которой движущийся элемент вещества покоится, компоненты тензора \(~ \tau_{00}\) и \(~ \tau_{0i }\) обнуляются. Это означает, что энергия элемента вещества в сопутствующей системе отсчёта должна вычисляться через другие физические переменные, не связанные с вязкостью, как в случае отсутствия диссипативных процессов. В результате на тензор накладывается условие: $$~ \tau_{ik} u^k =0. $$

Тензор \(~ \tau_{ik} \) включатся в состав тензора энергии-импульса вещества с давлением \(~ p \) и учитывает в нём вязкость: $$~ T_{ik} = p g_{ik}+ w u_i u_k +\tau_{ik} ,$$ здесь \(~ w = e+p \), \(~ e \) – собственная плотность энергии вещества без учёта давления.

Уравнение движения вещества с давлением и вязкостью получается из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса вещества: $$~ \frac {\partial T^k_i} {\partial x^k}=0.$$

Существенным недостатком тензора \(~ \tau_{ik} \) является то, что он не выводится из принципа наименьшего действия и потому не может использоваться, например, для вычисления метрики в системе. Кроме этого, в общем случае компоненты тензора \(~ \tau_{00}\) и \(~ \tau_{0i }\) не могут обнуляться в сопутствующей системе отсчёта, поскольку при этом окружающая среда движется относительно рассматриваемого элемента вещества и процесс диссипации энергии не прекращается.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле диссипации считается 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент, и является компонентой общего поля. В КТГ тензор энергии-импульса поля диссипации определяется через тензор поля диссипации \( ~h_{ik}\) и метрический тензор \(~ g^{ik}\) из принципа наименьшего действия: [2] $$~ Q^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \tau } \left( - g^{im} h_{nm} h^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}h_{mr}h^{mr}\right) ,$$

где \(~ \tau \) – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что \(~ \tau \) не определена однозначно, является следствием того факта, что диссипация энергии внутри жидких сред может быть вызвана действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера.

Компоненты тензора энергии-импульса поля диссипации[править]

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор \(~ g^{ik}\) переходит в тензор \(~ \eta^{ik}\), состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля диссипации существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля диссипации, то есть через напряжённость поля диссипации \( ~\mathbf{ X}\) и соленоидальный вектор \( ~\mathbf{Y}\) : $$~ Q^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_d & \frac {Z_x}{c} & \frac {Z_y}{c} & \frac {Z_z}{c} \\ c P_{dx} & \varepsilon_d - \frac{X^2_x+c^2 Y^2_x}{4\pi \tau } & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dy} & -\frac{X_x X_y+c^2 Y_x Y_y }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_y+c^2 Y^2_y }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } \\ c P_{dz} & -\frac{X_x X_z+c^2 Y_x Y_z }{4\pi\tau } & -\frac{X_y X_z+c^2 Y_y Y_z }{4\pi\tau } & \varepsilon_d -\frac{X^2_z+c^2 Y^2_z }{4\pi\tau } \end{vmatrix}. $$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля диссипации $$~ Q^{00} = \varepsilon_d = \frac{1}{8 \pi \tau }\left(X^2+ c^2 Y^2 \right).$$

2) вектор плотности импульса поля диссипации \( ~\mathbf{P_d} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{Z}, \) где вектор плотности потока энергии поля диссипации: $$~\mathbf{Z} = \frac{ c^2 }{4 \pi \tau }[\mathbf{X}\times \mathbf{Y}].$$

Компоненты вектора \(~\mathbf{Z} \) входят в соответствующие компоненты тензора \( Q^{01}, Q^{02}, Q^{03}\), а компоненты вектора \(~\mathbf{P_d} \) – в компоненты тензора \( Q^{10}, Q^{20}, Q^{30}\), при этом вследствие симметрии тензора по индексам \( Q^{01}= Q^{10}, Q^{02}= Q^{20}, Q^{03}= Q^{30}\).

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля диссипации, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде: $$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \tau } \left( X^p X^q + c^2 Y^p Y^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (X^2 + c^2 Y^2 ) \right) ,$$

где \(p,q =1,2,3, \) компоненты \(X^1=X_x, \) \(X^2=X_y, \) \(X^3=X_z, \) \( Y^1=Y_x, \) \(Y^2=Y_y, \) \(Y^3=Y_z, \) символ Кронекера \(\delta^{pq}\) равен 1 при \(p=q, \) и равен нулю при \(p \not=q. \)

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля диссипации связывает плотность силы диссипации и скорость изменения плотности импульса поля диссипации: $$~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial Z^p}{\partial t}, $$ где \(~ f^p \) обозначают компоненты трёхмерной плотности силы диссипации, \(~ Z^p \) – компоненты вектора плотности потока энергии поля диссипации.

Cила диссипации и уравнения поля диссипации[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы диссипации \(~ f^\alpha \) может быть найден через тензор энергии-импульса поля диссипации, либо через произведение тензора поля диссипации и массового 4-тока: $$~ f^\alpha = -\nabla_\beta Q^{\alpha \beta} = h^{\alpha}_{i} J^i . \qquad (1) $$

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля диссипации: $$~ \nabla_n h_{ik} + \nabla_i h_{kn} + \nabla_k h_{ni}=0, $$ $$~\nabla_k h^{ik} = -\frac {4 \pi \tau }{c^2} J^i .$$

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы диссипации можно записать: $$~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{X} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),$$ где \(~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{X} + [\mathbf{J} \times \mathbf{Y} ]\) – 3-вектор плотности силы диссипации, \(~\rho\) – плотность движущегося вещества, \(~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} \) – 3-вектор плотности массового тока, \(~\mathbf{v} \) – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля диссипации преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля диссипации \( ~\mathbf{ X}\) и соленоидального вектора \( ~\mathbf{Y}\) : $$~\nabla \cdot \mathbf{ X} = 4 \pi \tau \rho,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ Y} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ X}}{\partial t}+\frac {4 \pi \tau \rho \mathbf{ v}}{c^2},$$ $$~\nabla \cdot \mathbf{ Y} = 0,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ X} = - \frac{\partial \mathbf{ Y}}{\partial t}.$$

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля диссипации в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: $$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} + Q_{ik} \right), $$

где \(~ \beta \) – коэффициент, подлежащий определению, \(~ B_{ik}\), \(~ P_{ik}\), \(~ U_{ik}\), \(~ W_{ik}\), \(~ Q_{ik}\) – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, поля диссипации, \(~ G \) – гравитационная постоянная.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса диссипации \( Q^{ik}\) или тензора поля диссипации \( h_{nk}\) : $$~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik}+ Q^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k + h_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)$$

где \( ~ u_{nk}\) – тензор ускорений, \( ~ \Phi_{nk}\) – тензор гравитационного поля, \( ~F_{nk}\) – тензор электромагнитного поля, \( ~ f_{nk}\) – тензор поля давления, \( ~ h_{nk}\) – тензор поля диссипации, \(~j^k = \rho_{0q} u^k \) – зарядовый 4-ток, \(~\rho_{0q}\) – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, \(~ u^k \) – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при \(~ i=0\) описывает изменение энергии, а пространственная компонента при \(~ i=1{,}2{,}3\) связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [3] $$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P} + \mathbf{F}+ \mathbf{Z} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00} +P^{00}+Q^{00} )}{\partial t},$$

где \(~ \mathbf{K}\) – вектор плотности потока энергии поля ускорений, \(~ \mathbf{H}\) – вектор Хевисайда, \(~ \mathbf{P}\) – вектор Пойнтинга, \(~ \mathbf{F}\) – вектор плотности потока энергии поля давления, \(~ \mathbf{ Z}\) – вектор плотности потока энергии поля диссипации.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммы тензорных компонент с плотностью энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: $$~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0} +P^{i0} + Q^{i0} \right) dV }. $$

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – Издание 7-е, исправленное. – М.: Наука, 1988. – 731 с. – (Теоретическая физика, том VI).
  2. Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18 (No. 1), pp. 13-24, 2015. http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Федосин С. Г. Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.
  3. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. doi: 10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки[править]