Модель Лотки-Вольтерры

Модель Лотки-Вольтерры — математическая модель системы «хищник-жертва», предложенная независимо друг от друга А. Дж. Лоткой в 1925 и Вито Вольтеррой в 1926. Является частным случаем обобщённых уравнений Лотки-Вольтерры; также может считаться частным случаем уравнений Арриджи-Гинцбурга.

Допущения

Предполагается, что ареал закрыт, пропитания для травоядных жертв в избытке, а сами они — единственная пища хищников.

Модель

Если численность травоядных — $x$, а хищников — $y$, то потери травоядных от хищников в единицу времени будут пропорциональны вероятности их встречи, в свою очередь, пропорциональной численности тех и других, и составят $\beta x y$. Часть съеденного хищники направят на размножение, которое составит $\delta x y$; очевидно, что $\delta \ll \beta$.

Далее, если обозначить коэффициент естественного прироста травоядных как $\alpha$, а коэффициент естественной убыли хищников без пищи — $\gamma$, то изменение численности тех и других будет описываться системой уравнений:

$$\begin{equation} \label{lv} \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( - \gamma + \delta x \right) \end{cases} \end{equation}$$

Решения

Равновесие

Равновесие в системе описывается уравнениями: $$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = 0 \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta y \right) = 0 \end{cases}$$

Эта система имеет два решения: $\bar{x} = \bar{y} = 0$, соответствующее полному вымиранию, и

$$\begin{equation} \label{stable} \begin{cases} \bar{x} = \dfrac{\gamma}{\delta} \\ \bar{y} = \dfrac{\alpha}{\beta} \end{cases} \end{equation}$$

Малые колебания

Предположим, что численность хищников и жертв незначительно отклоняется от ненулевого равновесия: $x = \bar{x} + \tilde{x}$, $\tilde{x} \ll \bar{x}$, $y = \bar{y} + \tilde{y}$, $\tilde{y} \ll \bar{y}$. Тогда, с учётом выведенных производных $\eqref{lv}$, формул $\eqref{stable}$ для $\bar{x}$ и $\bar{y}$ и того, что $\tilde{x}\tilde{y}$ — бесконечно малая более высокого порядка, чем $\tilde{x}$ и $\tilde{y}$:

$$\begin{cases} \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = \left( \bar{x} + \tilde{x} \right) \left( \alpha - \beta \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \\ \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta x \right) = \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \left( - \gamma + \delta \left(\bar{x} + \tilde{x} \right) \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \end{cases}$$

Продифференцировав оба уравнения ещё раз и подставив их же в результат, получим:

$$\begin{cases} \dfrac{d^2\tilde{x}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{x}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} = - \alpha\gamma\tilde{x} \\ \dfrac{d^2\tilde{y}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{y}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} = - \alpha\gamma\tilde{y} \end{cases}$$

Оба полученных уравнения описывают гармонический осциллятор с периодом $T = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}}$. Амплитуды и сдвиг фаз колебаний будут определяться отклонением первоначальных значений $\tilde{x}_0$ и $\tilde{y}_0$ от положения равновесия.

См. также

• Конкурентные уравнения Лотки-Вольтерры,
• Уравнения Чейза-Осипова-Ланчестера,
• Логистическое уравнение.