Участник:Ignat99/Геометрическая алгебра

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Геометрическая алгебра Грассмана—Клиффорда—Линделла или предметнтое программирование — система ориентированных чисел, и, как таковая, может и должна использоваться в качестве единого языка, объединяющего специалистов большинства известных в настоящее время разделов физики и математики.

Это расширение системы вещественных чисел с использованием геометрической концепции направления. Гиперчисло \(\bold{e}_i\) - это единичные отрезки направленных линий. \(\{\bold{e}_i\} = \bold{e}_1, \bold{e}_2,..., \bold{e}_n\). Тогда вектором в n-мерном векторном пространстве \(\mathbb{E}_1(n)\) будет: $$ \bold{a} = \sum^{n}_{i=1} a_i \bold{e}_i,$$ где \( a_i \) скалярные коэффиценты (реальные или комплексные) которые есть направляющие косинусы.

Дуальным к нему вектором, как например I-ток (сосредоточенная величина) дуален к вектору U-напряжение (распределённая физическая величина) будет элемент другого n-мерного пространства \(\mathbb{F}_1(n)\): $$ \bold{\alpha} = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i \bold{\epsilon}_i,$$ где \( \alpha_i \) скалярные коэффиценты.

С этими гиперчислами ассоциируются два произведения:

внутреннее \(\bold{\epsilon}_i\mid\bold{e}_j = \bold{e}_j\mid\bold{\epsilon}_i = \delta_{ij} \), где \(\delta_{ij}\) символ Кронекера. \(\delta_{ij}=0, i \neq j\) и \(=1, i = j\).
и внешнее \(\bold{e}_i \wedge \bold{e}_j = - \bold{e}_j \wedge \bold{e}_i, \bold{\epsilon}_i \wedge \bold{\epsilon}_j = - \bold{\epsilon}_j \wedge \bold{\epsilon}_i \)

Внешнее произведение это направленный сегмент плоскости. Геометрически эти вектора можно интерпретировать, как строки и столбци параллельных плоскостей (стопки бумаги).

Важные свойства внешнего произведения были:

антикоммутативность \(\bold{a} \wedge \bold{b} = - \bold{b} \wedge \bold{a}, \bold{\alpha} \wedge \bold{\beta} = - \bold{\beta} \wedge \bold{\alpha} \)

Эту концепцию расширили до объектов произвольной более высокой размерности — мультивекторов и дуальных векторов

ассоциативность для тривекторов \(\bold{a} \wedge (\bold{b} \wedge \bold{c}) = (\bold{a} \wedge \bold{b}) \wedge \bold{c} = \bold{a} \wedge \bold{b} \wedge \bold{c}, \bold{\alpha} \wedge (\bold{\beta} \wedge \bold{\gamma}) = (\bold{\alpha} \wedge \bold{\beta}) \wedge \bold{\gamma} = \bold{\alpha} \wedge \bold{\beta} \wedge \bold{\gamma} \)