Фильтр Чебышёва

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Фильтр Чебышёва I рода

АЧХ фильтра Чебышёва I рода четвёртого порядка с $\omega_0=1$ и $\varepsilon=1$

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра $n$-го порядка задаётся следующим выражением: $$G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}$$

где $\varepsilon$ — показатель пульсаций, $\omega_0$ — частота среза, а $T_n(x)$ — многочлен Чебышёва $n \!$-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) $\varepsilon$. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального $\! G=1$ до минимального $G=1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$. На частоте среза $\omega_0$ коэффициент усиления имеет значение $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = $20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^2}}$.

Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют $\varepsilon = 1 \!$.

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси $j\omega$ в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюсы и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты ($s=\sigma+j\omega$) при $\varepsilon=0,\!1$ и $\omega_0=1$. Белые пятна — это полюсы фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836… по действительной оси и 1,071… по мнимой оси. Полюсы передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,05, белый соответствует коэффициенту усиления более 20.

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюсы $(\omega_{pm})$ фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту $s$, получим: $$1+\varepsilon^2T_n^2(-js)=0.$$

Представив $-js=\cos(\theta)$ и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим: $$1+\varepsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\varepsilon^2\cos^2(n\theta)=0.$$

Разрешим последнее выражение относительно $\theta$ $$\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}.$$

Тогда полюсы фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения: $$s_{pm}=i\cos(\theta)=$$ $$=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\varepsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right).$$

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме: $$s_{pm}^\pm= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$$ $$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m) ,$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$ и $$\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}.$$

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром $\theta_n$. Оно показывает, что полюсы лежат на эллипсе в $s$-плоскости, причём центр эллипса находится в точке $s=0$, полуось действительной оси имеет длину $\mathop{\mathrm{sh}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$, а полуось мнимой оси имеет длину $\mathop{\mathrm{ch}}(\mathop{\mathrm{arsh}}(1/\varepsilon)/n)$.

Передаточная функция

Уравнение, выведенное выше, содержит полюсы, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра $G$. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюсы должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением: $$H(s)=\prod_{m=0}^{n-1}\frac{1}{(s-s_{pm}^-)}$$

где $s_{pm}^-$ — только те полюсы, которые имеют отрицательную действительную часть.

Групповая задержка

Амплитуда и групповая задержка фильтра Чебышёва I рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!5$. Видно, что в полосе пропускания и АЧХ и групповая задержка имеют пульсации, в полосе подавления этих пульсаций нет.

Групповая задержка определяется как производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах. $$\tau_g=\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))$$

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристика (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного. $$\tau_{\varphi}=\frac{\arg H(j\omega)}{\omega}$$

Временны́е характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва I рода 10-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Фильтр Чебышёва II рода

АЧХ фильтра Чебышёва II рода (фильтр низких частот) с $\omega_0=1$ и $\varepsilon=0,\!01$

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением: $$G_n(\omega,\;\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\varepsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}$$

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до $$\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\varepsilon^2}}}$$

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза $\omega_0$. Параметр $\varepsilon$ связан с затуханием в полосе подавления $\gamma$ в децибелах следующим выражением: $$\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0,\!1\gamma}-1}}$$

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: $\varepsilon=0,\!6801$; для затухания в 10 дБ: $\varepsilon=0,\!3333$. Частота $f_C=\omega_C/(2\pi)$ является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ $f_H$ связана с $f_C$ следующим выражением: $$f_H = f_C\,\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{ch}}^{-1}\frac{1}{\varepsilon}\right).$$

Полюсы и нули

Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва II рода восьмого порядка на комплексной плоскости ($s=\sigma+j\omega$) с $\varepsilon=0,\!1$ и $\omega_0=1$. Белые пятна соответствуют полюсам, а чёрные — нулям. Показаны все 16 полюсов. 6 нулей (все нули второго порядка) показаны также, 2 находятся за пределами картинки (один на положительной мнимой оси, другой — на отрицательной мнимой оси). Полюсы передаточной функции фильтра — это полюсы, находящиеся в левой полуплоскости, нули передаточной функции — это нули модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышёва, только не второго, а первого порядка. Чёрный цвет соответствует коэффициенту усиления менее 0,01, белый — коэффициенту усиления более 3.

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов $(\omega_{pm})$ фильтра Чебышёва: $$1+\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0.$$

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода: $$\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm\,\mathop{\mathrm{sh}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)+$$ $$+j\mathop{\mathrm{ch}}\left(\frac{1}{n}\mathop{\mathrm{arsh}}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\cos(\theta_m) ,$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$.

Нули $(\omega_{zm})$ фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения:: $$\varepsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0.$$

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва: $$1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right),$$

где $m=1,\;2,\;\ldots,\;n$.

Передаточная функция

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комлексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка фильтра Чебышёва II рода пятого порядка с $\varepsilon=0,\!1$.

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Типовая ФЧХ и фазовая задержка фильтра Чебышёва II рода 10-го порядка.

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристика и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Типовые временные характеристики фильтра Чебышёва II рода 5-го порядка.

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.

Цифровые фильтры Чебышёва

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада: $$S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}.$$

Во временной области преобразование записывается как: $$y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]$$

Коэффициенты $\alpha_i \!$ и $\beta_i \!$ подсчитываются из коэффициентов $a_i \!$ и $\! b_i$: $$K = \mathop{\mathrm{tg}}\left( \pi \frac{\mbox{Frequency}}{\mbox{SampleRate}}\right)$$ $$\mbox{temp}_i =\cos\frac{(2i+1)\pi}{n}$$ $$b_i = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}^2\gamma-\mbox{temp}_i ^2}$$ $$a_i = K \cdot b_i \cdot \mathop{\mathrm{sh}}\,\gamma \cdot 2\,\mbox{temp}_i$$ $$\alpha_0 = K \cdot K$$ $$\alpha_1 = 2 \cdot K^2$$ $$\alpha_2 = K \cdot K$$
$$\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)$$ $$\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)$$ $$\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)$$
$$\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime$$ $$\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime$$

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Электронный фильтр
• Решётчатый фильтр
• БИХ-фильтр

Библиография

• В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.^{о книге}
• Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.^{о книге}
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0070153086^{о книге}
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0966017641^{о книге}
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0070540047^{о книге}
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0130040290^{о книге}
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0130901261^{о книге}
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0898381630^{о книге}
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0387075631^{о книге}
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0132136031^{о книге}
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 013212887X^{о книге}
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0132146355^{о книге}
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0139141014^{о книге}
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 002396815x^{о книге}Регулярное выражение «ISBN» классифицировало значение «002396815x» как недопустимое.

Ссылки

• Лекция по цифровой фильтрации
• Фильтры нижних частот
• Расчёт рекурсивных фильтров
• Сравнение линейных фильтров(англ.)

Первоисточник этой статьи был признан «хорошей статьёй» русского раздела Википедии.