Формула Муавра

Формула Муавра для комплексных чисел

$z=x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}(\cos \varphi + i \sin \varphi)$

утверждает, что:

$z^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}(\cos \varphi + i \sin \varphi )^n =\sqrt{(x^2+y^2)^n}(\cos n\varphi + i \sin n\varphi )$

для любого $n \in \mathbb{Z}$

Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \$ и тождества для экспонент $(e^{a})^{b} = e^{ab}$, где b — целое число. Если b — нецелое число, то $(e^{a})^{b}$ — многозначная функция переменной $a$ и $e^{ab}$ является лишь одним из её значений. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию. Угол $\varphi$ - есть главное значение аргумента комплексного числа:

$\varphi= \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )$

и должно удовлетворять условию

$-\pi < \operatorname{arg}(z) \le \pi$

Последнее определяют по выражениям:

$\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right ) \quad -$ для z из 1 и 4 квадрантов

$\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )+\pi \quad -$ для z из 2 квадранта

$\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )-\pi \quad -$ для z из 3 квадранта

Такая неоднозначность весьма неудобна при расчетах. В связи с этим российский математик Георгий Александров предложил в 2016 году однозначные формулы:

$x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}\bigg [\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]$

Формула Муавра:

$(x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]$

где $x,y,n \,$ - любые действительные числа.

Из последнего следует важное свойство сопряженных комплексных чисел:

$(x+y\,i)^n+(x-y\,i)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n}\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )$