Формула Муавра

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Формула Муавра для комплексных чисел

\(z=x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \varphi + i \sin \varphi) \)

утверждает, что:

\(z^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \varphi + i \sin \varphi )^n =\sqrt{(x^2+y^2)^n}(\cos n\varphi + i \sin n\varphi ) \)

для любого \(n \in \mathbb{Z}\)

Доказательство[править]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера \( e^{i\varphi} ={ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \varphi + i \sin \varphi \ \) и тождества для экспонент \( (e^{a})^{b} = e^{ab}\), где b — целое число. Если b — нецелое число, то \( (e^{a})^{b}\) — многозначная функция переменной \( a \) и \( e^{ab}\) является лишь одним из её значений. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию. Угол \( \varphi \) - есть главное значение аргумента комплексного числа:

\( \varphi= \operatorname{arg}(z)=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )\)

и должно удовлетворять условию

\( -\pi < \operatorname{arg}(z) \le \pi \)

Последнее определяют по выражениям:

\(\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right ) \quad - \) для z из 1 и 4 квадрантов

\(\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )+\pi \quad - \) для z из 2 квадранта

\(\operatorname{arg}(z)=\varphi=\operatorname{arctg} \left (\frac yx \right )-\pi \quad - \) для z из 3 квадранта

Такая неоднозначность весьма неудобна при расчетах. В связи с этим российский математик Георгий Александров предложил в 2016 году однозначные формулы:

\(x+y\,i=\sqrt{x^2+y^2}\bigg [\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\frac{|x|}{x} +\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]\)

Формула Муавра:

\((x+y\,i)^n=\sqrt{(x^2+y^2)^n}\bigg [\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )+i \, \frac{|y|}{y}\sin\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x}} \bigg) \bigg]\)

где \( x,y,n \, \) - любые действительные числа.

Из последнего следует важное свойство сопряженных комплексных чисел:

\((x+y\,i)^n+(x-y\,i)^n=2\sqrt{(x^2+y^2)^n}\cos\bigg(\frac{n\pi}{2}-\frac{n\pi}{2}\frac{|x|}{x} +n\operatorname{arctg}{\frac{|y|}{x} } \bigg )\)