Уравнения Чейза-Осипова-Ланчестера

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «Lanchester's laws»)
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ния Че́йза-О́сипова-Ла́нчестера, в англоязычной литературе известные как зако́ны Ла́нчестера (Lanchester's laws), а в популярной русской как уравнения Острогра́дского-Ла́нчестера; также уравне́ния дина́мики бо́я — система дифференциальных уравнений, описывающих убыль сражающихся сторон с течением времени.

Есть два вида уравнений: линейные, первого рода или честного боя, для рукопашного боя или неприцельного огня и квадратичные или второго рода, для прицельного огня, характерного для современного боя.

Эти уравнения описывают непрерывный бой. Дискретный или залповый бой описывается моделью залпового боя.

Линейные уравнения[править]

Линейные уравнения представляют тривиальный случай: происходит размен сил, динамика потерь в котором описывается уравнением \(\alpha\left(A_0 - A(t)\right) = \beta\left(B_0 - B(t)\right)\) , после которого слабейшая сторона полностью погибает, а сильнейшая уменьшается на величину, равную силе слабейшей, делённой на превосходство победителя в удельной огневой мощи: \(\begin{cases}A_f = A_0 - \frac{\beta}{\alpha}B_0 \\ B_f = 0\end{cases}\) , где \(A_0\) и \(A_f\) — силы сильнейшей стороны в начале и конце боя, а \(B_0\) и \(B_f\) — силы слабейшей стороны; \(\alpha\) и \(\beta\) — удельная огневая мощь сторон. Если включить огневую мощь в силу сторон, то от коэффициентов \(\alpha\) и \(\beta\) в формулах можно избавиться: \(A_0 - A(t) = B_0 - B(t)\) .

Квадратичные уравнения[править]

Квадратичные уравнения, описывающие современный бой, основываются на предположении, что ущерб, наносимый одной стороной за единицу времени другой, пропорционален силе этой стороны: \(\begin{cases}dA = \beta B(t) dt \\ dB = \alpha A(t) dt \end{cases}\), где \(A(t)\) и \(B(t)\) — силы сторон в момент \(t\), а \(\alpha\) и \(\beta\) — их огневая мощь.

Если включить огневую мощь в силы сторон, путём умножения численности на квадратный корень удельной огневой мощи (см. ниже), т.е. привести их к стандартным дивизиям, уравнения примут вид: \(\begin{cases}dA = kB(t) dt \\ dB = kA(t) dt \end{cases}\) , где \(k\) — коэффициент, определяющий действенность поражающих средств сторон.

Если принять \(A_0 = A(0)\) и \(B_0 = B(0)\) за силы сторон в начале боя, то аналитическое решение уравнений таково: $$\begin{cases} A(t) = A_0{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \ch}{ Гиперболический косинус }}} t \sqrt{\alpha\beta} - B_0 \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sh}{ Гиперболический синус }}} t \sqrt{\alpha\beta} \\ B(t) = B_0 \ch t \sqrt{\alpha\beta} - A_0 \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \sh t \sqrt{\alpha\beta} \end{cases} \tag{при разной огневой мощи} $$ $$\begin{cases} A(t) = A_0{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \ch}{ Гиперболический косинус }}} kt - B_0{ \href {//traditio.wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sh}{ Гиперболический синус }}} kt \\ B(t) = B_0 \ch kt - A_0 \sh kt \end{cases} \tag{в приведённых единицах} $$

Соотношение потерь в момент \(t\) в ходе боя будет подчиняться уравнениям: $$\alpha\left(A^2(t) - A^2_0\right) = \beta\left(B^2(t) - B^2_0\right) = \left(A^2_0 + B^2_0\right)\sh^2 t\sqrt{\alpha\beta} - \sqrt{\alpha\beta}A_0B_0{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sh}{ Гиперболический синус }}} 2t\sqrt{\alpha\beta} \tag{при разной огневой мощи}$$ $$A^2(t) - A^2_0 = B^2(t) - B^2_0 = \left(A^2_0 + B^2_0\right)\sh^2 kt - kA_0B_0{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sh}{ Гиперболический синус }}} 2kt \tag{в приведённых единицах}$$

В соответствии с этими уравнениями, продолжительность боя: $$T = \frac{1}{2 \sqrt{\alpha \beta}}{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \frac{A_0 \sqrt{\alpha} + B_0 \sqrt{\beta}}{A_0 \sqrt{\alpha} - B_0 \sqrt{\beta}} = \frac{1}{\sqrt{\alpha \beta}} \arcth \frac{A_0 \sqrt{\alpha}}{B_0 \sqrt{\beta}} \tag{при разной огневой мощи}$$ $$T = \frac{1}{2k}{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \frac{A_0 + B_0}{A_0 - B_0} = \frac{1}{k} \arcth \frac{A_0}{B_0} \tag{в приведённых единицах}$$

Силы слабейшей стороны будут полностью уничтожены, а у сильнейшей останется \(\frac{\alpha}{\beta}\sqrt{A_0^2 - B_0^2}\)  при разной огневой мощи или \(\sqrt{A_0^2 - B_0^2}\)  в приведённых единицах, предполагая, что сторона \(A\) сильнее, то есть \(A_0^2 \alpha > B_0^2 \beta\) при разной огневой мощи или \(A_0 > B_0\) в приведённых единицах.

Практически это означает, что чем больше начальное превосходство победившей стороны, тем меньшую цену ей придётся заплатить за победу. Например, при трёхкратном превосходстве потери составят всего \(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3} \approx 5{,}71\%\). Кроме того, соотношение численности оказывает большее (линейное) влияние на исход боя, чем удельная огневая мощь (пропорционально квадратному корню). Неаддитивность модели может служить математическим обоснованием необходимости бить врага по частям, концентрируя против каждой из них, одной за другой, все силы.

История[править]

Впервые уравнения были опубликованы Чейзом в 1902 применительно к морскому бою. В 1915 некто под псевдонимом «штабс-капитан Осипов», вероятно, генерал Корпуса военных топографов Русской императорской армии Михаил Павлович Осипов,[1] [2] опубликовал уравнения второго рода,[3][4] а в 1916 Фредерик Уильям Ланчестер предложил уравнения первого рода для моделирования воздушного боя.[5][6]

Ссылки[править]

Примечания[править]

  1. "Личность Н.Осипова". tsushima.su. Retrieved 2012-1-7.  Check date values in: |accessdate= (help)
  2. Митюков Н.В. «М. П. Осипов: К идентификации личности автора первой модели глобальных процессов» // Историческая психология и социология истории : Научно-теоретический журнал. — 2011. — № 2. — С. 203–207. Архивировано из первоисточника 15 августа 2013.
  3. Осипов Н. «Влияние численности сражающихся сторон на их потери» // Военный вестник : журнал. — 1915. — № 6-9.
  4. Осипов Н. «Дополнение к статье „Влияние численности сражающихся сторон на их потери“» // Военный вестник : журнал. — 1915. — № 10.
  5. Митюков Н.В. «К вопросу о типологии ланчестерских моделей».
  6. Белый А.. "В продолжение о тактике и числах.". flot.com. Retrieved 2012-1-7.  Check date values in: |accessdate= (help)