Нотация Дирака

Нотация Дира́ка или нотация бра-кет (от англ. bracket, «скобка») — введённый Полем Дираком и принятый в квантовой механике способ обозначения комплексных векторов и ковекторов, обозначающих квантовые состояния, а также их внутреннего и внешнего произведения.

Название	Нотация Дирака	Обычная запись	Смысл	$\mathrm{L\!\!^{{}_{\scriptstyle A}} \!\!\!\!\!\;\; T\!_{\displaystyle E} \! X}$
Кет	$$\ket{ \psi }$$	$$\overrightarrow { \psi } = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_n \end{pmatrix}$$	Вектор $\overrightarrow { \psi }$	\ket{ \psi }
Бра	$$\bra{ \phi }$$	$${ \overrightarrow { \phi } }^{ \top } = \left( \phi_1 , \phi_2 , \dots , \phi_n \right)$$	Ковектор $\overrightarrow { \phi }^{ \top }$ или линейная форма $\phi$	\bra{ \phi }
При этом, $\bra{ \psi } \equiv \ket{ \psi } ^ { \dagger } \cdot$, т.е., в определённом смысле, в записи бра уже подразумевается Эрмитово сопряжение
Бра-кет	$$\braket{ \phi }{ \psi }$$	$$\left< \phi, \psi \right> = \overrightarrow { \psi } \overrightarrow { \phi }$$	Внутреннее произведение $\overrightarrow { \phi }$ и $\overrightarrow { \psi }$ (предполагается, что оно антилинейно по первому операнду), или действие линейного функционала $\phi$ на $\overrightarrow { \psi }$	\braket{ \phi }{ \psi }
Кет-бра	$$\ketbra{ \psi }{ \phi }$$	$$\overrightarrow { \phi } \otimes \overrightarrow { \psi } = \begin{pmatrix} \phi_1^* \psi_1 & \phi_1^* \psi_2 & \cdots & \phi_1^* \psi_n \\ \phi_2^* \psi_1 & \phi_2^* \psi_2 & \cdots & \phi_2^* \psi_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_n^* \psi_1 & \phi_n^* \psi_2 & \cdots & \phi_n^* \psi_n \end{pmatrix}$$	Внешнее произведение $\overrightarrow { \phi }$ и $\overrightarrow { \psi }$	\ketbra{ \phi }{ \psi }
	$$A \ket{ \phi }$$	$$\hat{ A } \overrightarrow { \psi } = A \cdot \overrightarrow { \psi }$$	Действие оператора, или матричное произведение	\A \ket{ \phi }
	$$\Braket{ \psi | A | \psi }$$	$${ \overrightarrow { \psi } }^{ \dagger } \cdot \hat{ A } \overrightarrow { \psi } = { \overrightarrow { \psi } }^{ \dagger } \cdot \left( A \cdot \overrightarrow { \psi } \right)$$	Ожидаемое значение наблюдаемой $\hat{ A }$. Вектор состояния $\ket{ \psi }$ должен быть нормализован	\Braket{ \psi | A | \psi }
	$$\ket{ n }$$	$$\ket{ n } = \ket{ \psi_n } = \overrightarrow { \psi_n }$$	Сокращённое обозначение вектора $\overrightarrow { \psi_n }$, например, одного из собственных векторов какого-нибудь оператора	\ket{ n }
	$$\ket{ \lambda }$$	$$\ket{ \lambda } = \ket{ \psi_{ \lambda } } = \overrightarrow { \psi_{ \lambda } }$$	Сокращённое обозначение собственного вектора $\overrightarrow { \psi_{ \lambda } }$ некоего оператора, соответствующего собственному значению $\lambda$	\ket{ \lambda }
	$$\ket{ + }$$	$$\ket{ + } = \ket{ \psi_+ } = \overrightarrow { \psi_+ }$$	Сокращённое обозначение вектора $\overrightarrow { \psi_+ }$, например, собственного вектора оператора спина, соответствующего положительному спину	\ket{ + }
	$$\hat{ \alpha } \ket{ \alpha } = \alpha \ket{ \alpha }$$	$$\hat{ \alpha } \overrightarrow{ \alpha } = \alpha \overrightarrow{ \alpha }$$	Символ $\alpha$ используется для оператора и его собственного вектора и соответствующего собственного значения	\hat{ \alpha }\ket{ \alpha } = \alpha \ket{ \alpha }