Текст:Шафаревич. Математическая биография

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шафаревич. Математическая биография



Автор:
Математический институт имени Стеклова











Предмет:
Игорь Шафаревич

Ссылки на статью в «Традиции»:

Влияние И. Р. Шафаревича на отечественную и мировую математику огромно. Оно измеряется не только его личным вкладом в алгебру, теорию чисел и алгебраическую геометрию, но и тем магнетическим влиянием, которое он оказывал на молодежь в течение многих десятилетий своими университетскими лекциями, семинарами, книгами, неповторимым умением раскрыть талант. Каждый из его многочисленных учеников может вспомнить путь, пройденный рядом с Игорем Ростиславовичем, как счастливейший этап в своем творческом становлении.

Яркие математические способности Шафаревича проявились уже в школьные годы. Его родители Ростислав Степанович (выпускник МГУ, преподаватель теоретической механики) и Юлия Яковлевна (филолог по образованию) не могли нарадоваться успехам сына, окончившего в 1939 г. школу. Из семьи и сохранившихся ещë от деда книг приобрел любовь к русской литературе, сказкам, былинам. Немного позже — к истории. Следующим увлечением была математика. Учась в школе, сдавал экстерном экзамены на механико-математическом факультете МГУ, который окончил в 1940 г. С 1944 г., уже после окончания аспирантуры, И. Р. Шафаревич становится преподавателем МГУ, а с 1946 г., после защиты докторской диссертации, сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Однако активная преподавательская деятельность в МГУ, уже в качестве профессора, не прерывалась вплоть до 1975 г., когда она была прекращена в связи с его общественной деятельностью. Шафаревич был вынужден перенести свой семинар в Стекловку, где он действует и поныне, неизменно привлекая большое число участников.

Собственно научные исследования И. Р. Шафаревича были начаты работой по нормированным топологическим кольцам (кандидатская диссертация), а затем на целое десятилетие областями его научных интересов стали теория Галуа и теория алгебраических чисел. к этому периоду относятся такие замечательные достижения, как решение обратной задачи теории Галуа (сначала для  p p -расширений локальных полей, а затем для полей алгебраических чисел и разрешимых групп Галуа) и решение проблемы Гильберта о нахождении общего закона взаимности. Каждый из этих результатов был доказан при помощи техники, основанной на привлечении тонких арифметических свойств полей. Так, эффективное построение полей с заданной разрешимой группой Галуа проходит по этапам, а согласованность результатов каждого этапа (первое и второе препятствия в сопутствующей задаче погружения) требует поистине филигранной отделки каждой детали конструкции. в свою очередь, общий закон взаимности, частные аспекты которого связаны с именами Гаусса, Якоби, Куммера, в интерпретации И. Р. Шафаревича базируется на аналогии между символом норменного вычета ( α , β p ) \bigl(\frac{\alpha, \beta}{\frak p}\bigr) в поле алгебраических чисел и вычетом абелева дифференциала α d β \alpha\,d \beta в точках римановой поверхности. Найденный им самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел явился в известной мере завершающим этапом в 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Эйлеру и Гауссу. Общий закон взаимности позволил более естественно построить теорию полей классов, как локальную, так и глобальную.

в начале 60-х годов И. Р. Шафаревич возвращается к изучению групп Галуа p p -расширений, изложив заманчивые идеи и новые результаты в обзорном докладе на Международном математическом конгрессе в Стокгольме.[1] в частности, им было сообщено об оценке r d + ρ r \leq d + \rho , где ρ \rho  — число образующих группы единиц поля алгебраических чисел k k , d d  — минимальное число образующих, а  r r  — число соотношений группы Галуа G ( p ) G(p) максимального неразветвленного p p -расширения поля k k . И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что из этой оценки вытекает решение известной проблемы башни в теории полей классов, если число соотношений r = r ( G ) r = r(G) конечной p p -группы G G с необходимостью достаточно велико по сравнению с числом образующих d = d ( G ) d = d(G) при  d d \to\infty . Вскоре им вместе с Е. С. Голодом было показано,[2] что в действительности r > [ ( d 1 ) / 2 ] 2 r > [(d - 1)/2]^{2} . Это и дало решение проблемы башни почти пятидесятилетней давности. Полученное решение, а главное — техника его доказательства имеют много следствий в теории чисел и алгебре. Достаточно упомянуть доказательство существования полей алгебраических чисел, не вложимых в одноклассные, точные оценки роста дискриминанта числового поля в зависимости от его степени, отрицательное решение ряда проблем бернсайдовского типа в теории p p -групп и алгебр Ли. Статья [2] вызвала настолько острый резонанс, что её основной результат (вместе с немного измененным доказательством, дающим неравенство r > d 2 / 4 r >d^{2}/4 ) вошел почти сразу же в монографическую и учебную литературу.

Несколько ранее, в середине 50-х годов, И. Р. Шафаревич начинает заниматься алгебраической геометрией, более точно задачами, находящимися на стыке теории чисел и геометрии. Первые идеи были высказаны в докладе на 3-м Всесоюзном математическом съезде,[3] где указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над такими полями. Две основные гипотезы в этой области были доказаны в работах 1957 г.,[4],[5] что явилось одним из первых шагов в новом разделе алгебраической геометрии — теории главных однородных пространств. Построив локальную теорию главных однородных пространств, И. Р. Шафаревич обратился к глобальной ситуации. Введенное им ядро естественного гомоморфизма локализации, состоящее из локально тривиальных однородных пространств, в честь автора обозначается в мировой математической литературе русской буквой Ш. Его вычисление и, в частности, доказательство предполагаемой конечности являются одними из труднейших и интереснейших проблем теории диофантовых уравнений. Лишь в последние годы были получены первые примеры эллиптических кривых с конечной группой Ш. Наиболее сильные результаты здесь получены учеником И. Р. Шафаревича В. А. Колывагиным.

Большое влияние на исследования алгебраических поверхностей во всем мире оказала монография,[6] явившаяся результатом активной работы небольшого коллектива энтузиастов во главе с И. Р. Шафаревичем и долгое время служившая единственным систематическим изложением теории поверхностей, соединяя красоту классических геометрических методов итальянской школы с мощью новейших аналитических и топологических методов. Одним из ярких феноменов теории алгебраических поверхностей являются поверхности типа К3, для которых И. Р. Шафаревичем (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро) был доказан аналог знаменитой теоремы Торелли о римановых поверхностях, а в цикле работ конца 70-х — начала 80-х годов (совместно с А. Н. Рудаковым) исследованы поверхности типа К3 над полями конечной характеристики. Развитая здесь техника изучения векторных полей на алгебраических поверхностях в положительной характеристике имеет многочисленные применения.

Среди других исследований по алгебраической геометрии: изучение группы автоморфизмов аффинной плоскости, построение оснований теории бесконечномерных алгебраических многообразий, теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация.

В конце 80-х годов И. Р. Шафаревич обратил внимание на то, что остается совершенно открытым вопрос об описании рациональных отображений поверхностей типа К3, в то время как теорема Торелли дает полное описание самих поверхностей. Иначе говоря, вопрос стоит в выяснении того, как восстановить категорию поверхностей типа К3 из категории решеток периодов и морфизмов между ними. Более точно, рациональное отображение поверхностей определяет ортогональный морфизм (изогению) рациональных структур Ходжа, соответствующих трансцендентным циклам, и задача состоит в определении тех изогений, которые отвечают рациональным отображениям исходных поверхностей. Ранг соответствующих Q \mathbb{Q} -пространств может принимать значения от 2 до 21. Для случаев ранга 2 и 3 было показано (совместно с В. В. Никулиным), что отображения поверхностей описываются изогениями рациональных структур Ходжа.

Другая большая область интересов И. Р. Шафаревича — это теория алгебр, как алгебр Ли, так и, в последнее время, ассоциативных алгебр.

К середине 60-х годов в широких кругах математиков пробудился интерес к классификации Э. Картана простых транзитивных псевдогрупп преобразований. В МИАНе некоторое время (1964‒1966) функционировал семинар под руководством И. Р. Шафаревича, на котором обсуждались разные работы по псевдогруппам Ли. Отчасти результатом этой деятельности явились две работы,[7],[8] определившие на четверть века программу классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями конечной характеристики. Эти работы цитируются практически в каждом исследовании, посвященном модулярным простым алгебрам Ли (более подробный обзор математических работ И. Р. Шафаревича, написанных до 1983 г., см. в УМН, 1984, Т. 39, № 1, C. 167‒174).

В последние годы внимание И. Р. Шафаревича было привлечено к изучению структуры многообразия неполупростых коммутативных алгебр. Наличие в этой задаче непрерывных параметров делает естественным использование методов алгебраической геометрии. Все коммутативные и ассоциативные законы умножения на данном n n -мерном векторном пространстве определяют алгебраическое многообразие. В работе [9] автор ограничивается рассмотрением первого нетривиального случая, когда изучаемые алгебры N N имеют класс нильпотентности 2 (то есть N 3 = 0 N^{3} = 0 ). Изучаются неприводимые компоненты в многообразии таких алгебр, найдены их размерности и особые точки. Оказывается, что компоненты определяются рангом r r квадрата N 2 N^{2} алгебры N N . Все компоненты можно разделить на два класса — устойчивые и неустойчивые. Если d d  — число образующих алгебры, то доказано, что компоненты, соответствующие значениям 2 < r ( d 1 ) ( d 2 ) / 6 + 2 2 < r\leq (d - 1)(d - 2)/6 + 2 , являются устойчивыми, кроме, быть может, случая d = 5 d = 5 , r = 4 r = 4 , а компоненты с  r ( d 2 1 ) / 3 r \geq (d^{2} - 1)/3 и  r = 1 , 2 r =1,2 неустойчивы. Так как всегда r d ( d + 1 ) / 2 r \leq d(d + 1)/2 , то интервал возможных значений для  r r разделяется на три примерно равные части (асимптотически по d d ), причем часть меньших значений для  r r соответствует устойчивым компонентам, часть больших значений — неустойчивым, а для средней части ответ остается неизвестным. Каждая алгебра класса два определяет r r симметрических матриц, в терминах которых формулируется критерий устойчивости. Для  r = 3 r = 3 он тесно связан с известным в теории векторных расслоений на проективной плоскости условием Барта. Все эти конструкции и результаты являются первыми шагами в новой теории классификации коммутативных алгебр.

Помимо работ и личного общения, И. Р. Шафаревич оказывает большое влияние и своими монографиями и учебниками. Созданные на основе многократно читавшихся им курсов, они вошли в золотой фонд математики. Прозрачность и ясность изложения, обилие неформальных примеров и мотивировок (так обожаемых студентами), постепенный переход от простейших ситуаций к более сложным — характерные черты книг И. Р. Шафаревича.

Это в полной мере относится к обзорам,[10],[11],[12] написанным Шафаревичем для «Энциклопедии математических наук», начавшей выходить у нас в 80-е годы стараниями Р. В. Гамкрелидзе. И. Р. с самого начала принял активное участие в формировании общих принципов этого издания, по существу совпадающих с приведенными выше особенностями его книг. Редактируя выпуски по алгебре, теории чисел и алгебраической геометрии, он оказал определяющее влияние на содержание и стиль вошедших в них обзоров. Написанный на едином дыхании обзор основных понятий алгебры [10] сразу же приобрел широкую известность и не только в математических кругах. Почти 80 выпусков этого издания, в появлении которого роль И. Р. Шафаревича весьма велика, дают панораму почти всей современной математики.

Труды Игоря Шафаревича[править | править код]

[13][14][15][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25][26][27][28][29][30][31][32][33][34][35][36][37][38][39][40][41][42][43][44][45][46][47][48][49][50][51][52][53][54][55][56][57][58][59][60][61][62][63][64][65][66][67][68][69][70][71][72][73][74][75][76][77][78][79][80][81][82][83][84][85][86][87][88][89][90][91][92][93][94][95][96][97][98][99][100][101][102][103][104][105][106][107][108][109][110][111][112][113][114][115][116][117][118][119][120][121][122][123][124][125][126][127][128][129][130][131][132][133][134][135][136][137][138]

  1. Поля алгебраических чисел // Proc. Intern. Congr. Math. Stockholm 1962. Djursholm: Inst. Mittag-Lefler, 1963. P. 163‒176.
  2. а б О башне полей классов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. T. 28, № 2. C. 261‒272 (совместно с Е. С. Голодом).
  3. Теория Галуа и арифметика полей алгебраических чисел // Тр. 3-го Всесоюз. математического съезда. Москва, 1956. Т. 2. С. 8.
  4. О бирациональной эквивалентности эллиптических кривых // ДАН СССР. 1957. T. 114, № 2. C. 267‒270.
  5. Показатели эллиптических кривых // ДАН СССР. 1957. T. 111, № 4. C. 714‒716.
  6. Предисловие. Линейчатые поверхности. Поверхности с пучком эллиптических кривых // Алгебраические поверхности: Тр. МИАН CCCР. 1965. T. 75. C. 3‒11; 48‒74; 138‒154. Англ. пер.: Providence: Amer. Math. Soc., 1967. Нем.: Leipzig: Akad. Verlagsges., 1968.
  7. Псевдогруппы Картана и -алгебры Ли // ДАН СССР. 1966. T. 168, № 4. C. 740‒742 (совместно с А. И. Кострикиным).
  8. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1969. T. 33, № 2. C. 251‒322 (совместно с А. И. Кострикиным).
  9. Деформации коммутативных алгебр класса 2 // Алгебра и анализ. 1990. T. 2, № 6. C. 178‒194.
  10. а б Основные понятия алгебры // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 11. Алгебра-1. 288 с. (Итоги науки и техники).
  11. Введение // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 23. Алгебраическая геометрия-1. С. 7‒19. (Итоги науки и техники).
  12. Алгебраические поверхности // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 35. Алгебраическая геометрия-2. С. 131‒271 (совместно с В. А. Исковских).
  13. О нормируемости топологических полей // ДАН СССР. 1943. T. 40, № 1. C. 149‒151.
  14. Об абсолютных группах Галуа относительно-абелевых расширений // Рефераты научно-исследовательских работ за 1943‒44 гг. М., Л.: Отд. физ.-мат. наук АН СССР, 1945.
  15. О -расширениях // Рефераты научно-исследовательских работ за 1945 г. М., Л.: Отд. физ.-мат. наук АН СССР, 1946.
  16. О группах Галуа -адических полей // ДАН СССР. 1946. T. 53, № 1. C. 15‒16.
  17. Исследования о конечных расширениях: Рез. докт. дис. // УМН. 1946. T. 2, № 2. C. 223‒226.
  18. О -расширениях // Мат. сб. Нов. сер. 1947. T. 20, № 2. C. 351‒363.
  19. Общий закон взаимности // УМН. 1948. T. 3, № 3. C. 165.
  20. Общий закон взаимности // ДАН СССР. 1949. T. 64, № 1. C. 25‒28.
  21. Общий закон взаимности // Мат. сб. Нов. сер. 1950. T. 26, № 1. C. 113‒146.
  22. Алгебраическая геометрия // БСЭ. M., 1950. T. 2. C. 62‒63.
  23. Новое доказательство теоремы Кронекера-Вебера // Тр. МИАН СССР. 1951. T. 38. C. 382‒387.
  24. Общий закон взаимности и его приложения в теории полей алгебраических чисел // Тр. I Конгр. венгерских математиков. 1950. Будапешт, 1952. C. 291‒298.
  25. Конференция по алгебре и теории чисел // УМН. 1952. T. 7. № 3. C. 151‒154.
  26. Комментарии к статье: «О числе решений сравнения степени три» // Вороной Г. Ф. Собр. соч. Киев: Изд-во АH УССР, 1953. T. 3. C. 205.
  27. Комментарии к статье: "Замечание о последней теореме Ферма относительно неразрешимости уравнения в целых числах , , при нечетном простом числе " // Вороной Г. Ф. Собр. соч. Киев: Изд-во АН УССР, 1953. T. 3. C. 247.
  28. О построении полей с заданной группой Галуа порядка // Изв. АH СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 261‒296.
  29. Об одной теореме существования в теории полей алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 327‒334.
  30. О задаче погружения полей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 389‒418.
  31. Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой группой Галуа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. T. 18. C. 525‒578.
  32. О расширениях полей алгебраических чисел, разрешимых в радикалах // ДАН СССР. 1954. T. 95, № 2. C. 227.
  33. О задаче погружения полей // ДАН СССР. 1954. T. 95, № 3. C. 459‒461.
  34. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). М.: Гостехтеориздат, 1954. 24 с. Нем. пер.: Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1956.
  35. Предисловие // Зигель К. Л. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М., Л.: Изд-во иностр. лит., 1954. C. 3‒4.
  36. 16-я Московская математическая олимпиада // УМН. 1954. T. 9, № 3. C. 257‒262 (совместно с Д. Е. Меньшовым, Е. А. Морозовой и В. М. Золотаревым).
  37. Группы гомологий нильпотентных алгебр // ДАН СССР. 1957. T. 115, № 6. C. 1066‒1069 (совместно с А. И. Кострикиным).
  38. Задача погружения для распадающихся расширений // ДАН СССР. 1958. T. 120, № 6. C. 1217‒1219.
  39. Дмитрий Константинович Фаддеев (К его 50-летию) // УМН. 1958. T. 13, № 1. 1958. C. 233‒236.
  40. Аналитические многообразия и алгебраическая геометрия (Обзорная статья) // УМН. 1958. T. 13, № 2. C. 233.
  41. Группы главных однородных алгебраических многообразий // ДАН СССР. 1959. T. 124, № 4. C. 42‒43.
  42. Задача погружения для локальных полей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. T. 23, № 6. C. 823‒840 (совместно с С. П. Демушкиным).
  43. Впечатления от Международного математического конгресса в Эдинбурге // УМН. 1959. T. 14, № 2. C. 243‒246.
  44. Главные однородные пространства, определенные над полем функций // Тр. МИАН СССР. 1961. T. 64. C. 316‒346.
  45. Борис Николаевич Делоне (К его 70-летию) // УМН. 1961. T. 16, № 3. C. 239‒241.
  46. Памяти Франческо Севери // Вестн. АН СССР. 1962. T. 2. C. 99‒100.
  47. Contributii Sovetice la theoria lui Galois. Bucaresti: Acad. Rep. Populare Romine, 1962. № 3. Р. 3‒36; Р. 37‒93.
  48. Второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1962. T. 26, № 6. C. 911‒924 (совместно с С. П. Демушкиным).
  49. Einige Anwendungen der Galoischen Theorie auf Diophantische Gleichungen // Ber. Dirichlet Tagung. Berlin, 1963. S. 81‒82.
  50. Расширения с заданными точками ветвления // Publ. Math. Inst. Haut. Etud. Sci. Paris, 1964. Vol. 18. P. 295‒319.
  51. Юрий Манин // Молодой коммунист. 1964. № 3. C. 61.
  52. Фундаментальные направления развития алгебраической топологии и алгебраической геометрии // УМН. 1964. T. 19, № 6. C. 75‒82 (совместно с С. П. Новиковым, И. И. Пятецким-Шапиро).
  53. Теория чисел. М.: Наука, 1964 (совместно с З. И. Боревичем). Нем. пер.: Basel; Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1966. Англ.: New York; London: Acad. Press, 1966. Фр.: Paris: Gauthier-Villars, 1967. Япон.: Tokyo: Joshioka Shoten, 1971.
  54. Конференция по теории чисел. Обервольфах (ФРГ), 6‒12 сент. 1964 // Вестн. АН СССР. 1964. № 12. C. 63‒64.
  55. Лекции по высшей алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1963. 38 c.
  56. Предисловие // Комплексные пространства. М.: Мир, 1965. C. 5‒10.
  57. Псевдогруппы Картана и -алгебры Ли: Тезисы // Тр. Междунар. конгр. математиков. Секц. 2. М.: Мир, 1966 (совместно с А. И. Кострикиным).
  58. Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. T. 30, № 3. C. 671‒704 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  59. Теория Галуа трансцендентных расширений и униформизация // Современные проблемы теории аналитических функций. Ереван, 1965. М.: Наука, 1966. C. 262‒264 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  60. Lectures on minimal models and birational transformations of two-dimensional schemes. Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 1966. 175 p.
  61. Вторая летняя школа по топологии // УМН. 1966. T. 21, № 2. C. 257‒258 (совместно с А. А. Кирилловым).
  62. Uber das Klassenkorperturmproblem // Ber. Math. Forsch. Inst. Oberwolfach. 1966. H. 2. S. 265.
  63. On some infinitedimensional groups // Simp. Intern. geometria algebrica. Roma: Cremonese, 1967. P. 208‒212.
  64. Неприводимые представления простой трехмерной алгебры Ли над полями конечной характеристики // Мат. заметки. 1967. T. 2, № 5. C. 439‒454 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  65. О ранге эллиптических кривых // ДАН СССР. 1967. T. 175, № 4. C. 770‒773 (совместно с Дж. Т. Тэйтом).
  66. Алгебраическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1968. 250 с.
  67. Дзета-функция. М.: Изд-во МГУ, 1969. 148 с.
  68. Основы алгебраической геометрии // УМН. 1969. T. 24, № 6. C. 3‒184. Нем. пер.: Berlin: Friedrich Vieweg und Sohn, 1972. Венг.: Magyar Tud. Akad. mat. fiz. Tud. Oszt. 1974. Vol. 22. P. 79‒184; 1975, Vol. 22. P. 283‒360.
  69. Предисловие // Koch H. Galoissche Theorie der -Erweiterungen. Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1970. S. 3‒4. (Math. Monogr. Bd. 1).
  70. Le theoreme de Torelli pour les surfaces algebriques de type K3 // Actes Congr. Intern. Math. Nice, 1970. Paris: Gauthier-Villars, 1971. Vol. 1. P. 413‒417.
  71. Теорема Торелли для алгебраических поверхностей типа K3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1971. T. 35, № 3. C. 530‒572 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  72. Лекции по высшей алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1971. 40 с.
  73. Галина Николаевна Тюрина (Некролог) // УМН. 1971. T. 26, № 1. C. 207‒211 (совместно с В. И. Арнольдом, И. М. Гельфандом, Ю. И. Маниным, Б. Г. Мойшезоном, С. П. Новиковым).
  74. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1971. 567 с. Нем. пер.: Berlin: Dtsch. Verl. Wiss., 1972. Англ.: Grundlehren Math. Wiss. Bd. 213. Berlin; Heidelberg; New York, 1974. Румын.: Bucharesti: Stiint. encicl., 1976.
  75. Теория чисел: 2-е изд. М.: Наука, 1972. 495 с. (совместно с З. И. Боревичем).
  76. Арифметика поверхностей типа K3 // Тр. МИAH СССР. 1973. T. 132. C. 44‒54 (совместно с И. И. Пятецким-Шапиро).
  77. О некоторых тенденциях развития математики // Jahrber. Akad. Wiss. Gottingen. 1973. S. 31‒36. Англ. пер.: Math. Intell. 1981. Vol. 3. P. 182‒184.
  78. Несепарабельные морфизмы алгебраических поверхностей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1976. T. 40, № 6. C. 1269‒1307 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  79. Замечание к работе «Несепарабельные морфизмы алгебраических поверхностей» // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977. T. 41, № 2. C. 476 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  80. Квазиэллиптические поверхности типа K3 // УМН. 1978. T. 33, № 1. C. 227‒228 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  81. Векторные поля на эллиптических поверхностях // УМН. 1978. T. 33, № 6. C. 231‒232 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  82. Суперсингулярные поверхности типа K3 над полями характеристики 2 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. T. 42, № 4. C. 848‒869 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  83. Поверхности типа K3 над полями конечной характеристики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. M.: ВИНИТИ, 1981. T. 18. C. 115‒207 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  84. О вырождении поверхностей типа K3 над полями конечной характеристики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. T. 45, № 3. C. 646‒661 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  85. О вырождении поверхностей типа K3 // ДАН СССР. 1981. T. 259. C. 1050‒1052 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  86. О некоторых бесконечномерных группах. II // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. T. 45, № 1. C. 214‒226.
  87. Влияние высоты на вырождение алгебраических поверхностей типа K3 // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1982. T. 46, № 1. C. 117‒134 (совместно с А. Н. Рудаковым, Т. Цинком).
  88. Геометрии и группы. М.: Наука, 1983 (совместно с В. В. Никулиным). Англ. пер.: Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1987. Япон.: Tokyo: Springer-Verlag, 1993.
  89. Zum 150 Geburtstag von Alfred Clebsch // Math. Ann. 1983. Bd. 266. S. 135‒140.
  90. Предисловие // Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. C. 5‒6.
  91. Арифметика алгебраических многообразий // Тр. МИAH СССР. 1984. T. 168. C. 72‒97 (совместно с А. Н. Паршиным).
  92. О вырождении поверхностей типа K3 // Тр. МИAH СССР. 1984. T. 166. C. 222‒234 (совместно с А. Н. Рудаковым).
  93. Анри Пуанкаре. Мысли о науке (Рецензия) // Техника и наука. 1984. № 2. C. 42‒43.
  94. Теория чисел: 3-е изд. М.: Наука, 1985. 503 с. (совместно с З. И. Боревичем).
  95. Yuri Ivanovich Manin // Duke Math. J. 1987. Vol. 54. P. I‒II.
  96. Алгебраическая геометрия: 2-е изд. М.: Наука, 1988. Т. 1, 2.
  97. Collected mathematical papers /Ed. M. Artin, J. Tate. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 784 p.
  98. Так сделайте невозможное (К 80-летию Л. С. Понтрягина) // Сов. Россия. 1989. 16 апр.
  99. О проблеме Люрота // Тр. МИAH CCCР. 1989. T. 183. C. 199‒204.
  100. О факторах одного убывающего центрального ряда // Мат. заметки. 1989. T. 45, № 3. C. 114‒118.
  101. Listening to Igor Rostislavovich Shafarevich (Interview with Smilka Zdravkovska) // Math. Intell. 1989. Vol. 11, № 2. P. 16‒28.
  102. Дмитрий Константинович Фаддеев (К годовщине смерти) // Алгебра и анализ. 1990. T. 2, № 6. C. 3‒9.
  103. «Остаюсь диссидентом…» // Вестн. АН СССР. 1990. № 11. С. 88‒100.
  104. Abelian and Nonabelian mathematics // Math. Intell. 1991. Vol. 13. P. 67‒75.
  105. Патриарх отечественной математики (Ред. название. В оригинале: Властитель Стекловки (К 100-летию со дня рождения И. М. Виноградова)) // Вестн. АН СССР. 1991. № 9. C. 96‒100.
  106. Letter to the editor // Notic. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 39. P. 683.
  107. Foreword // Fesenko I. B., Vostokov S. V. Local fields and their extensions. A constructive approach. Providence: AMS, 1993. P. IX.
  108. Пьер Ферма и развитие теории чисел (К выходу русского издания теоретико-числовых трудов П. Ферма) // Вопр. ист. естествозн. и техн. 1993. № 4. С. 37‒40.
  109. Собрание сочинений: В 3 т. М.: Издательская и рекламно-информационная фирма «Феникс», 1994.
  110. Mathematical reasoning versus nature // Commen. Math. Univ. Sancti Pauli. 1994. Vol. 43, № 1. P. 109‒116.
  111. Николай Григорьевич Чеботарев // Nikolaj Grigor’evich Chebotarev. 1894‒1947. Proceedings of the international centennial Chebotarev conference «Algebra and analysis», Kazan, Russia, June 5‒11, 1994. Казань, издательство Казанского университета, 1994, сс. 4‒8.
  112. Математическое мышление и природа // Вопросы истории естествозн. Техн. 1996, № 1, 78‒84.
  113. Некоторые семейства абелевых поверхностей // Известия РАН, сер. матем. 60 (1996), № 5, 213‒223.
  114. Семейства приводимых алгебраических многообразий, Мат. заметки, 60, № 6, 946‒949 (1996).
  115. On the arithmetic of singular K3-surfaces // Algebra and analysis. Proceedings of the international centennial Chebotarev conference, Kazan, Russia, June 5‒11, 1994. Berlin: Walter de Gruyter. 103‒108 (1996).
  116. Валентин Евгеньевич Воскресенский (к его семидесятилетию) // Усп. матем. наук 52(1997), № 6, 201‒202 (совместно с Исковских В. А., Клячко А. А., Кострикиным А. И., Кунявским Б. Е., Паршиным А. Н., Степановым С. А.).
  117. Юрий Иванович Манин (к его шестидесятилетию) // Усп. матем. наук 52(1997), № 4, 233‒242 (совместно с Дринфельдом В. Г., Исковских В. А., Кострикиным А. И., Тюриным А. Н.).
  118. Classification, fundamental groups and universal covering spaces of algebraic varieties, Proceedings of the 4th international congress of geometry, Thюessaloniki, Greece, May 26-June 1, 1996. Athens: Aristotle University of Thessaloniki. 46‒53 (1997).
  119. Сергей Михайлович Воронин (11 марта 1946 — 18 октября 1997, некролог) // Усп. матем. наук 53(1998), № 4, 125‒128 (совместно с Архиповым Г. И., Благодатских В. И., Болибрухом А. А., Чубариковым В. Н., Фоменко А. Т., Исковских В. А., Карацубой А. А., Прохоровым Ю. В.).
  120. On some arithmetic properties of algebraic varieties, Proceedings of the second Asian mathematical conference 1995, Nakhon Ratchasima, Thailand, October 17‒20, 1995. Singapore: World Scientific. 231‒241 (1998). ISBN 981-02-3225-X
  121. Selected chapters from algebra. Teach. Math. 1, 1‒22 (1998).
  122. Василий Алексеевич Исковских (к шестидесятилетию) // Усп. матем. наук 54(1999), № 4, 183‒187 (совместно с Кострикиным А. И., Куликовым В. С., Маниным Ю. И., Никулиным В. В., Паршиным А. Н., Прохоровым Ю. Г., Пухликовым А. В., Ридом М., Тюриным А. Н., Шокуровым В. В.).
  123. Selected chapters from algebra. Teach. Math. 2:1, 1‒30 (1999).
  124. Избранные главы алгебры: Учеб. пособие для школьников. — М.: Журн. «Мат. образование», 2000. — 377 с.
  125. Основные понятия алгебры. — 2-е изд., испр. и доп. — М., Ижевск: РХД, 2001. — 347 с.
  126. Из истории естественно-научного мировоззрения // Историко-математические исследования, вып. 6(41), 2001, 11‒33.
  127. Андрей Иванович Лапин // Вопросы истории естествозн. Техн. 2001, № 2, 127‒128.
  128. Воспоминания о В. А. Рохлине // Труды Санкт-Петербургского математического общества, том VII (2001). Англ. Пер. AMS. Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc. 203, 235‒238 (2001).
  129. Алексей Иванович Кострикин (некролог) // Усп. матем. наук 56(2001), № 3, 143‒145. (совместно с Винбергом Э. Б., Голодом Е. С., Зельмановым Е. C., Исковских В. А., Латышевым В. Н., Маниным Ю. И., Михалевым А. В., Паршиным А. Н., Шмелькиным А. Л.).
  130. Алексей Иванович Кострикин (некролог) // Усп. матем. наук 56(2001), № 3, 143‒145. (совместно с Винбергом Э. Б., Голодом Е. С., Зельмановым Е. C., Исковских В. А., Латышевым В. Н., Маниным Ю. И., Михалевым А. В., Паршиным А. Н., Шмелькиным А. Л.).
  131. Degeneration of semisimple algebras // Commun. Algebra 29, № 9, 3943‒3960 (2001).
  132. Discourses on algebra. Transl. from the Russian by William B. Everett. Universitext. Berlin: Springer, 276 p. (2002).
  133. Isabella Grigoryevna Bashmakova on the eightieth anniversary of her birth, Hist. Math. 29, № 4, 370‒382 (2002) (совместно с Демидовым С. С., Паршиным А. Н., Петровой С. С., Смирновой Г. С., Тихомировым В. М., Вандулакисом Я. М.).
  134. Aleksey Nikolaevich Parshin // Algebraic number theory and algebraic geometry. Papers dedicated to A. N. Parshin on the occasion of his sixtieth birthday. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). Contemp. Math. 300 (2002), vii-viii.
  135. Геннадий Владимирович Белый // Усп. матем. наук 57(2002), № 5, 139‒140 (совместно с Богомоловым Ф. А., Дубровиным Н. И., Исковских В. А., Куликовым В. С., Паршиным А. Н.).
  136. О группе // Алгебраическая геометрия. Методы, связи и применения. Сборник работ, посвященных памяти Андрея Николаевича Тюрина. Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 246 (2004), 321‒327.
  137. Гармония в алгебре (К 100-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Д. К. Фаддеева) // Вестник РАН, 2007, № 7, 634‒639 (совместно с С. В. Востоковым).
  138. Основы алгебраической геометрии / Шафаревич И. Р. Изд. 3-е, испр. и доп. М.: Изд-во МЦНМО, 2007. 588 с.