Изотопия

Изотопия — гомотопия топологического пространства $X$ по топологическму пространству $Y$ есть гомотопия $f_t : X\to Y, t\in[0,1]$, в которой при любом $t$ отображение $f_t$ является гомеоморфизмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Связанные определения

• Накрывающей (или объемлющей) изотопией для изотопии $f_t:X\to Y$ назывется изотопия пространства $F_t:Y\to Y$ такая, что $F_t|_X\equiv f_t$
• Два вложения $f_0,f_1:X\to Y$ называются изотопными если существует накрывающая изотопия $F_t: Y\to Y$, для которой $F_0=id, F_1(f_0(X))=f_l(X)$.
• Пространства $X$ и $Y$ называются изотопически эквивалентными или пространствами одного и того же изотопического типа, если существуют вложения $f:X\to Y,\ g:Y\to X$ такие, что композиции $g\circ f : X\to X$ и $f\circ g : Y\to Y$ изотопны тождественным отображениям.
  • Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопического типа, например $n$-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (одним своим концом) отрезком.
  • Любой гомотопический инвариант является изотопическим инвариантом, но существуют изотопические инварианты, например размерность, не являющиеся гомотопическими.

Свойства

• Гладкая изотопия всегда продолжается до гладкой накрывающей изотопии
• Существуют диффеоморфизмы сферы $S^n$ на себя, неизотопные тождественному, этот факт связан с существованием нетривиальных дифференциальных структур на сферах размерности $n+1$.

См. также

• Стекло