Преобразование Фурье
Преобразование Фурье — математическая операция, сопоставляющая некой функции вещественной переменной — другую функцию (также вещественной переменной). Новая функция включает весовые коэффициенты («амплитуды»), формирующиеся в процессе преобразования исходной функции — к виду суммы гармонических колебаний с определёнными частотами.
Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:
Отметим, что разные источники могут давать определения, отличающиеся от приведенного выбором коэффициента перед интегралом, а также знака «-» в показателе экспоненты. Все свойства в этом случае будут аналогичны, хотя вид каких-то формул может измениться.
Кроме этого, существуют разнообразные обобщения этого понятия, которые будут приведены ниже.
Определения, основные свойства[править | править код]
Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса , преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
- Преобразование Фурье является линейным оператором:
- Справедливо равенство Парсеваля: если , то преобразование Фурье сохраняет -норму:
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство . Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех .
- Формула обращения:
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний с частотами , амплитудами и фазовыми сдвигами соответственно.
- Теорема о свертке: если , тогда
где Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если , то
Из этой формулы легко выводится формула для -й производной: Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и сдвиг.
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций , а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
- Преобразование Фурье и растяжение.
- Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство . Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции её преобразованием Фурье называется обобщённая функция , действующая на основные функции по правилу Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции: Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа .
Применения преобразования Фурье[править | править код]
Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:
- Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
- Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
- Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
- По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
- Дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).
Разновидности преобразования Фурье[править | править код]
Многомерное преобразование Фурье[править | править код]
Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве , определяется формулой Здесь и — векторы пространства , — их скалярное произведение. Обратное преобразование в этом случае задается формулой Эта формула может быть интерпретирована как разложение функции в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида с амплитудами , частотами и фазовыми сдвигами соответственно. Как и прежде, в разных источниках определения многомерного преобразования Фурье могут отличаться выбором константы перед интегралом.
Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:
- Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:
- Изменяется константа в теореме о свёртке:
- Преобразование Фурье и сжатие координат:
- Более общо, если — обратимый линейный оператор, то
Ряды Фурье[править | править код]
Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для -периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами: Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.
Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой -периодической функции имеем Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках, и равно нулю вне их.
Дискретное преобразование Фурье[править | править код]
Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.
Пусть — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен . Выберем какие-нибудь точек на комплексной плоскости . Теперь многочлену мы можем сопоставить новый набор из чисел: . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел существует единственный многочлен степени не выше с такими значениями в соответственно(см. Интерполяция).
Набор и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора . В качестве точек обычно выбирают корни -й степени из единицы: Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины напрямую требует порядка операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка операций.
Оконное преобразование Фурье[править | править код]
где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала в окрестности времени .
Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию , эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.
Другие варианты[править | править код]
Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.
Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщённых обоснований преобразования Фурье.
Интерпретация в терминах времени и частоты[править | править код]
В терминах обработки сигналов, преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.
Когда функция является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции представляет амплитуды соответствующих частот (), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.
Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.
Таблица важных преобразований Фурье[править | править код]
Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье и обозначают фурье компоненты функций и , соответственно. и должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.
Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как , зависят от соглашения, какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения, конечно, правильны).
Функция | Образ | Примечания | |
---|---|---|---|
1 | Линейность | ||
2 | Запаздывание | ||
3 | Частотный сдвиг | ||
4 | Если большое, то сосредоточена около 0 и становится плоским | ||
5 | Свойство преобразования Фурье от -й производной | ||
6 | Это обращение правила 5 | ||
7 | Запись означает свёртку и . Это правило — теорема о свёртке | ||
8 | Это обращение 7 | ||
9 | означает дельта-функцию Дирака | ||
10 | Обращение 9. | ||
11 | Здесь, — натуральное число, — -я обобщённая производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов | ||
12 | Следствие 3 и 10 | ||
13 | Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера | ||
14 | Также из 1 и 12 | ||
15 | Показывает, что функция Гаусса совпадает со своим изображением | ||
16 | Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и функция sinc(x) — её временной эквивалент | ||
17 | Здесь — sign функция. Это правило согласуется с 6 и 10 | ||
18 | Обобщение 17 | ||
19 | Обращение 17 | ||
20 | Здесь — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 19 |
Литература[править | править код]
- Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9о книге
- М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов Спектральные преобразования в MatLab. — СПб: 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1о книге
См. также[править | править код]
- Численно-теоретические преобразования
- Преобразование Лапласа
- Ортогональные функции
- Ряд Фурье
- Дискретное преобразование Фурье
- Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
- Быстрое преобразование Фурье
- Оконное преобразование Фурье
- Вейвлет
- Чирплет
Ссылки[править | править код]
- Интегральные преобразования — EqWorld: Мир математических уравнений
- Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr