Текст:Александр Машин:Conservatoire

Conservatoire

Автор:

Александр Машин

В консерваторию по классу скрипки на 10 мест 100 претендентов:
10 евреев и 90 русских. Собрался ректорат, решают, кого взять, чтобы
по справедливости.
Проректор-патриот: «Надо взять 10 русских».
Проректор-коммунист: «Надо взять 9 русских и одного еврея».
Проректор-демократ: «Надо взять 5 евреев и 5 русских».
Проректор-сионист: «Надо взять 9 евреев и одного русского».
Ректор: «А вы все, оказывается, националисты».
Все: «Ни фига себе! А кого же, по-твоему, надо брать?»
Ректор: «Тех, кто лучше играет на скрипке».

Анекдот № 143830

Дата публикации:

27 мая 2023

Предмет:

Социометрия

О тексте:

К foxhound-lj «О Засилье™» // LiveJournal.com : Запись в сетевом дневнике. — 27 мая 2023..

Рассмотрим динамику сообщества неизменной численности, состоящего из тех же групп, что и вмещающее его сообщество, и восполняющего себя по мере естественной убыли в соответствии со своими предпочтениями, которые могут склоняться к выбору объективно лучшего кандидата, или принадлежащего к той или иной группе.

Случай двух групп

Обозначения

Пусть:

• $C$ — общая неизменная численность некоего сообщества, состоящего из двух групп, как и вмещающее его сообщество: $C = C_1 + C_2 = \const$, естественная убыль в котором компенсируется набором из вмещающего сообщества, причём выбор из той или иной группы определяется имеющимся соотношением численности групп в сообществе и их предпочтениями,
• $k\left(t\right) = \frac{C_1\left(t\right)}{C\left(t\right)}$ — доля первой группы в нём в момент времени $t$, при этом, $k\left(0\right) = k_0$,
• $0 < \theta\ < 1$ — скорость естественного выбытия членов сообщества,
• $0 \leq \alpha_1\ \leq 1$ и $0 \leq \alpha_2\ \leq 1$ — вероятности того, что средний член соответствующей группы предпочтёт своего при заполнении вакансии, руководствуясь только принадлежностью к группе,
• $0 \leq \beta_1\ \leq 1$ и $0 \leq \beta_2\ \leq 1$ — вероятности того, что средний член соответствующей группы предпочтёт при заполнении вакансии достойнейшего, независимо от принадлежности к группе,
• $0 \leq \nu\ \leq 1$ — вероятность того, что кандидат из первой группы достойнее кандидата из второй группы,
• соответственно, $0 \leq 1 - \alpha_1 - \beta_1 \leq 1$ и $0 \leq 1 - \alpha_2 - \beta_2 \leq 1$ — вероятности того, что член группы предпочтёт чужого кандидата, несмотря ни на что.

Постановка

Получим закон изменения $k\left(t\right) = \frac{C_1\left(t\right)}{C\left(t\right)}$, учитывая, что предпочтение кандидату из первой группы отдадут:

• члены первой группы, численностью $C_1\left(t\right) = k\left(t\right)C$:
  • всегда предпочитающие своих (вероятность $\alpha_1$) или,
  • предпочитающие достойнейших, при условии, что кандидат из первой группы достойнейший (вероятность $\beta_1 \nu$),
• и члены второй группы, численностью $C_2\left(t\right) = \left(1 - k\left(t\right)\right)C$:
  • предпочитающие достойнейших, при условии, что кандидат из первой группы достойнейший (вероятность $\beta_2 \nu$),
  • всегда предпочитающие чужих (вероятность $1 - \alpha_2 - \beta_2$).

Дополнительные обозначения

Дополнительно введём:

• $\dd C_1 = \dd C^{-}_1 + \dd C^{+}_1$ — изменение численности первой группы за время $\dd t$, состоящее из её естественной убыли и прироста в результате кооптации; учитывая, что $C = \const$, $\dd C = \dd C_1 + \dd C_2 = 0$,
• $\varphi_1 = 1 - \alpha_1 - \beta_1 \nu$ — вероятность, что член первой группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из второй группы,
• $\varphi_2 = 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right)$ — вероятность, что член второй группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из первой группы.

Дифференциальное уравнение

Получим дифференцильное уравнение: $$\begin{equation*} \dd C_1 = \dd C^{-}_1 + \dd C^{+}_1 = \underbrace{ -\theta C_1\left(t\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } + \underbrace{ \theta C\left(t\right) \left( \underbrace{ k\left(t\right) \left( 1 - \varphi_1 \right) }_{ \substack{ \scriptsize{ за\,счёт\,голосов\,своих } } } + \underbrace{ \left( 1 - k\left(t\right) \right) \varphi_2 }_{ \substack{ \scriptsize{ за\,счёт\,голосов\,чужих } } } \right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } }. \end{equation*}$$

Отсюда, разделив на $C\left(t\right)$, получим: $$\begin{equation} \label{Gammas differential} \eqalign{ \dd k &= -\theta k\left(t\right) \dd t + \theta \left( k\left(t\right) \left( 1 - \varphi_1 \right) + \left( 1 - k\left(t\right) \right) \varphi_2 \right) \dd t = \\ &= \theta \left( \varphi_2 - \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) k\left(t\right) \right) \dd t . } \end{equation}$$

Уравнение динамики

Если $\varphi_1 + \varphi_2 = 0$, для чего необходимо, чтобы $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$, т.е., члены обеих групп всегда предпочитают своих, то $\dd k = 0$, соответственно, $k\left(t\right) = \const$, т.е., распределение групп не меняется.

Иначе, решение уравнения $\eqref{Gammas differential}$ с начальным условием $k\left(0\right) = k_0$ даёт: $$\begin{equation} \label{Dynamics} \eqalign{ k\left(t\right) &= \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } + \left( k_0 - \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } \right) e ^ { -\theta \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) t } = \\ &= k_0 e ^ { -\theta \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) t } + \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } \left( 1 - e ^ { -\theta \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) t } \right) = \\ &= \dfrac{ 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) + \left( k_0 \left( 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) - \left( 1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) \right) e ^ { -\theta \left( 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) \right) t } }{ 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) } . } \end{equation}$$

Предел

Если $\varphi_1 + \varphi_2 > 0$, то, со временем, доля первой группы стремится к: $$\begin{equation*} \eqalign{ k^* &= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} k\left(t\right) = \\ &= \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \left( \left( k_0 - \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } \right) e ^ { -\theta \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) t } + \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } \right) = \\ &= \frac{\varphi_2}{ \varphi_1 + \varphi_2 } = \\ &= \frac{1 - \alpha_2 - \beta_2 \left( 1 - \nu \right)} { 2 - \alpha_1 - \alpha_2 - \beta_1 \nu - \beta_2 \left( 1 - \nu \right) } . } \end{equation*}$$

С учётом значения предела $k^*$, формула динамики $\eqref{Dynamics}$ принимает вид: $$\begin{equation} k\left(t\right) = k^* + e ^ { -\theta \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) t } \left( k_0 - k^* \right) . \end{equation}$$

Примеры динамики на графике

Случай нескольких групп

Обозначения

Пусть:

• $C$ — общая неизменная численность сообщества, состоящего из $n$ групп: $C \left( t \right) = \sum\limits_{i=1}^{n}C_i \left( t \right) = \const$,
• $k_i\left(t\right) = \frac{C_i\left(t\right)}{C\left(t\right)}$ — доля $i$-ой группы в нём в момент времени $t$; $\sum\limits_{i=1}^n k_i = 1$; при этом, $k_i\left(0\right) = k_i^0$; соответственно, вводятся векторы-столбцы $\mathbf{k}\left(t\right) = \left( k_1\left(t\right), k_2\left(t\right), \dots , k_i\left(t\right), \dots , k_n\left(t\right) \right)^{\top}$ и $\mathbf{k^0} = \left( k^0_1, k^0_2, \dots , k^0_i, \dots , k^0_n \right)^{\top}$,
• $\theta$ — скорость естественного выбытия членов сообщества,
• $\alpha_i$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы руководствуется только принадлежностью к группе при заполнении вакансии,
• $\alpha_{ij}$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы предпочтёт члена $j$-ой группы при заполнении вакансии, руководствуясь только принадлежностью к группе; $\sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} = \alpha_i$,
  • Обозначим $\Alpha = \left( \alpha_{ij} \right)$,
• $\beta_i$ — вероятность того, что средний член $i$-ой группы предпочтёт при заполнении вакансии достойнейшего, независимо от принадлежности к группе. Отсюда:
  • $\alpha_i + \beta_i = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} + \beta_i = 1$,
  • Обозначим $\mathbf{ \beta } = \left( \beta_{i} \right)$,
• $\nu_i$ — вероятность того, что кандидат из $i$-ой группы достойнее других кандидатов; $\sum\limits_{i=1}^n \nu_i = 1$,
  • Обозначим $\mathbf{ \nu } = \left( \nu_{i} \right)$.

Постановка задачи

Получим закон изменения $k_i\left(t\right) = \frac{C_i\left(t\right)}{C\left(t\right)}$, учитывая, что предпочтение кандидату из $i$-ой группы отдадут:

• члены всех групп, всегда предпочитающих кандидата из $i$-ой группы, вместе собирающие долю голосов $\frac{ 1 }{ C\left(t\right) } \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ji} C_j\left(t\right) = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ji} k_j\left(t\right)$,
• члены всех групп, предпочитающие лучших, при условии, что кандидат из $i$-ой группы действительно лучший, вместе собирающие долю голосов $\frac{ 1 }{ C\left(t\right) } \sum\limits_{j=1}^n \beta_j \nu_i C_j\left(t\right) = \nu_i \sum\limits_{j=1}^n \beta_j k_j\left(t\right)$.

Дополнительные обозначения

Дополнительно введём:

• $\dd C_i = \dd C^{-}_i + \dd C^{+}_i$ — изменение численности $i$-ой группы за время $\dd t$, состоящее из её естественной убыли и прироста в результате кооптации; учитывая, что $C = \const$, $\dd C = \sum\limits_{i=1}^n \dd C_i = 0$,
• $\Phi = \left( \varphi_{ij} \right) = \left( \alpha_{ij} + \beta_i \nu_j \right)$ — квадратная матрица вероятностей, что член $i$-ой группы предпочтёт, по той или иной причине, кандидата из $j$-ой группы. Отсюда:
  • $\sum\limits_{j=1}^n \varphi_{ij} = 1$,
  • $1 = \sum\limits_{j=1}^n \varphi_{ij} = \sum\limits_{j=1}^n \left( \alpha_{ij} + \beta_i \nu_j \right) = \sum\limits_{j=1}^n \alpha_{ij} + \sum\limits_{j=1}^n \beta_i \nu_j = \alpha_i + \beta_i \sum\limits_{j=1}^n \nu_j = \alpha_i + \beta_i = 1$,
  • $\Phi$ — стохастическая справа матрица (и $\mathbf{ 1 }_{ 1 \times n }$ — её собственный вектор с собственным числом 1), $\Phi^{\top}$ — стохастическая слева,
  • В матричной форме, $\Phi = \Alpha + \mathbf{ \beta } \otimes \mathbf{ \nu }$.

Дифференциальное уравнение

Получим дифференциальное уравнение: $$\begin{equation*} \dd C_i = \dd C^{-}_i + \dd C^{+}_i = \underbrace{ -\theta C_i\left(t\right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } + \underbrace{ \theta C\left(t\right) \left( \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi_{ji} k_j\left(t\right) \right) \dd t }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } } . \end{equation*}$$

Разделив на $C\left(t\right)$, получим: $$\begin{equation} \label{Multiple gammas differential} \eqalign{ \dd k_i &= -\theta k_i\left(t\right) \dd t + \theta \left( \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi_{ji} k_j\left(t\right) \right) \dd t = \\ &= \theta \left( \underbrace{ -k_i\left(t\right) }_{ \substack{ \scriptsize{ Выбытие } } } + \underbrace{ \sum\limits_{j=1}^{n} \varphi_{ji} k_j\left(t\right) }_{ \substack{ \scriptsize{ Пополнение } } } \right) \dd t . } \end{equation}$$

С использованием векторов и матриц систему уравнений вида $\eqref{Multiple gammas differential}$ можно переписать в виде: $$\begin{equation} \label{Matrix differential} \dd \mathbf{k} = \theta \left( \texttip{ \Phi^{\top} }{ Пополнение } - \texttip{ I }{ Выбытие } \right) \mathbf{k}\left(t\right) \dd t . \end{equation}$$

Это уравнение сходно с основным кинетическим.

Уравнение динамики

Решением системы уравнений $\eqref{Matrix differential}$ с начальным условием $\mathbf{k}\left(0\right) = \mathbf{k}^0$ является: $$\begin{equation} \label{Multiple solution} \mathbf{k}\left(t\right) = e ^ { \theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t } \mathbf{k^0} . \end{equation}$$

Упрощение

Примем во внимание, что:

• умножение на скалярную матрицу всегда коммутативно, а $- \theta I t$ — скалярная матрица, поэтому возможен переход от экспоненты суммы к произведению экспонент,
• экспонента транспонированной матрицы равна транспонированной экспоненте.

С учётом этого, решение $\eqref{Multiple solution}$ можно переписать как: $$\begin{equation} \mathbf{k}\left(t\right) = e ^ { \theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t } \mathbf{k^0} = e ^ { \left( \theta \Phi t \right) ^{\top} - \theta I t } \mathbf{k^0} = \left( e ^ { \theta \Phi t } \right) ^{\top} e ^ { - \theta It } \mathbf{k^0} . \end{equation}$$

Поскольку $- \theta It$ — скалярная матрица, то она и диагональна, и её экспонента $e ^ { - \theta It } = \begin{pmatrix} e^{-\theta t} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & e^{-\theta t} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & e^{-\theta t} \end{pmatrix} = e^{-\theta t} I$.

С учётом этого, коммутативности умножения на единичную матрицу и того, что $\Phi = \Alpha + \mathbf{ \beta } \otimes \mathbf{ \nu }$, $$\begin{equation} \eqalign{ \mathbf{k}\left(t\right) & = e^{-\theta t} I \left( e ^ { \theta \Phi t } \right) ^{\top} \mathbf{k^0} = e^{-\theta t} \left( e ^ { \theta \Phi t } \right) ^{\top} \mathbf{k^0} = e^{-\theta t} e ^ { \theta \Phi ^{\top} t } \mathbf{k^0} = \\ & = \underbrace{ e^{-\theta t} }_{ \substack{ \tiny{ выбытие } } } \underbrace{ e ^ { \theta \Phi ^{\top} t } }_{ \substack{ \tiny{ пополнение } } } \underbrace{ \mathbf{k^0} }_{ \substack{ \tiny{ исходное } \\ \tiny{ положение } } } = \\ & = \underbrace{ e^{-\theta t} }_{ \substack{ \tiny{ выбытие } } } \underbrace{ e ^ { \theta \Alpha ^{\top} t } }_{ \substack{ \tiny{ фаворитизм } } } \underbrace{ e ^ { \theta \mathbf{ \nu } \otimes \mathbf{ \beta } t } }_{ \substack{ \tiny{ объективность } } } \underbrace{ \mathbf{k^0} }_{ \substack{ \tiny{ исходное } \\ \tiny{ положение } } } . } \end{equation}$$

Стохастичность

Матрица $\Phi^{\top}$ стохастична слева, т.е., $\mathbf{1}_{1 \times n} \Phi^{\top} = \mathbf{1}_{1 \times n}$. Это же относится и к любой её степени: $\mathbf{1}_{1 \times n} \left( \Phi^{\top} \right) ^ i = \mathbf{1}_{1 \times n}$. С учётом определения матричной и скалярной экспоненты через бесконечный ряд: $$\begin{equation*} \eqalign{ \mathbf{1}_{1 \times n} e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t} &= \mathbf{1}_{1 \times n} e^{-\theta t} e^{\theta \Phi^{\top} t} &= \\ &= e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \left( \theta \Phi^{\top} t \right) ^ i }{ i! } = e^{-\theta t} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i \mathbf{1}_{1 \times n} \left( \Phi^{\top} \right) ^ i }{ i! } &= \\ &= e^{-\theta t} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i \mathbf{1}_{1 \times n} }{ i! } = e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{ \theta^i t^i }{ i! } = e^{-\theta t} \mathbf{1}_{1 \times n} e^{\theta t} &= \mathbf{1}_{1 \times n} . } \end{equation*}$$ Таким образом, матрица $e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t}$ тоже стохастична слева.

Соответственно: $$\begin{equation*} \eqalign{ \sum\limits_{i=1}^n k_i \left( t \right) = \mathbf{1}_{1 \times n} \mathbf{k} \left( t \right) = \mathbf{1}_{1 \times n} e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t} \mathbf{k^0} = \mathbf{1}_{1 \times n} \mathbf{k^0} = 1 = \const . } \end{equation*}$$

Предел

Если достигнуто некое стационарное состояние $\mathbf{k^*}$, то $\dd \mathbf{k} = \mathbf{0}$. Отсюда, $\mathbf{0} = \dd \mathbf{k} = \theta \left(\Phi^{\top} — I \right) \mathbf{k^*} \dd t$, следовательно, $\left(\Phi^{\top} — I \right) \mathbf{k^*} = \mathbf{0}$.

Это возможно в двух случаях:

• $\Phi^{\top} = \Phi = I$, то есть, представители групп всегда поддерживают только своих. Тогда $\mathbf{ k } \left(t \right) = \mathbf{ k^* } = \mathbf{ k^0 }$, и распределение не меняется;
• $\Phi^{\top} \cdot \mathbf{k^*} = \mathbf{k^*}$, то есть, $\mathbf{k^*}$ — собственный вектор $\Phi^{\top}$ с собственным числом 1.
  Поскольку собственные вектора сохраняются при умножении матрицы на скаляр, возведении в степень и экспоненцировании, а диагональная матрица коммутативна, то $\mathbf{k^*}$ — собственный вектор, как и $e ^ { \Phi^{\top} }$ с собственным числом $e$, так и $e ^ { \theta \Phi^{\top} t }$ с собственным числом $e ^ { \theta t }$, и, соответственно, $e ^ { \theta \left(\Phi^{\top} — I \right) t } = e ^ { \theta \Phi^{\top} t } e ^ { — \theta t }$, с собственным числом снова $1$, то есть $e ^ { \theta \left(\Phi^{\top} — I \right) t } \mathbf{k^*} = \mathbf{k^*}$.

Соответственно, уравнение динамики можно представить через начальное и конечное состояния как: $$\begin{equation} \eqalign{ \mathbf{k} \left( t \right) &= e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t} \cdot \mathbf{k^0} + \underbrace{ \mathbf{k^*} - e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t} \cdot \mathbf{k^*} }_{ = 0 } \\ & = \mathbf{k^*} + e^{\theta \left( \Phi^{\top} - I \right) t} \left( \mathbf{k^0} - \mathbf{k^*} \right) . } \end{equation}$$

Дальнейшие обобщения

Переменная численность

Если сообщество пополняется со скоростью $\gamma$, не равной скорости выбытия $\theta$: $\gamma \ne \theta$, то уравнения приобретают вид:

$$\begin{equation} \dd \mathbf{k} = \left( \gamma \Phi^{\top} - \theta I \right) \mathbf{k}\left(t\right) \dd t . \end{equation}$$

$$\begin{equation} \eqalign{ \mathbf{k}\left(t\right) &= e ^ { \left( \gamma \Phi^{\top} - \theta I \right) t } \mathbf{k^0} = \\ &= e ^ {- \theta t } e ^ { \gamma \Phi^{\top} t } \mathbf{k^0} = \\ &= e ^ {- \theta t } e ^ { \gamma \Alpha^{\top} t } e ^ { \gamma \mathbf {\nu } \otimes \mathbf{ \beta } t } \mathbf{k^0} . } \end{equation}$$

Неравномерное выбытие

Если фракции сообщества уменьшается с разной скоростью (вектор $\mathbf{ \theta }$ вместо скаляра $\theta$), то уравнения приобретают вид:

$$\begin{equation} \dd \mathbf{k} = \left( \gamma \Phi^{\top} - \diag{ \mathbf{ \theta } } \right) \mathbf{k}\left(t\right) \dd t . \end{equation}$$

$$\begin{equation} \eqalign{ \mathbf{k}\left(t\right) &= e ^ { \left( \gamma \Phi^{\top} - \diag{ \mathbf{ \theta } } \right) t } \mathbf{k^0} = \\ &= e ^ {- \diag{ \mathbf{ \theta } } t } e ^ { \gamma \Phi^{\top} t } \mathbf{k^0} = \\ &= e ^ {- \diag{ \mathbf{ \theta } } t } e ^ { \gamma \Alpha^{\top} t } e ^ { \gamma \mathbf {\nu } \otimes \mathbf{ \beta } t } \mathbf{k^0} , } \end{equation}$$ где $\diag$ — диагональная матрица, соответствующая вектору.

Переменные предпочтения

Если непостоянны фаворитизм $\Alpha \left( t \right) \neq \const$, объективность $\mathbf{ \beta } \left( t \right) \neq \const$, объективное превосходство $\mathbf{ \nu } \left( t \right) \neq \const$, скорость выбытия $\theta \left( t \right) \neq \const$ или скорость пополнения $\gamma \left( t \right) \neq \const$, то в показателях экспонент в уравнении динамики умножение на время заменяется интегрированием по времени:

$$\begin{equation} \eqalign{ \mathbf{k}\left(t\right) &= e ^ { \int\limits_0^t \left( \gamma \left( t \right) \Phi\left( t \right)^{\top} - \theta\left( t \right) I \right) \dd t } \mathbf{k^0} = \\ &= e ^ {- \int\limits_0^t \theta\left( t \right) \dd t } e ^ { \int\limits_0^t \gamma\left( t \right) \Phi\left( t \right)^{\top} \dd t } \mathbf{k^0} = \\ &= \underbrace{ e ^ {- \int\limits_0^t \theta\left( t \right) \dd t } }_{ \substack{ \tiny{ выбытие } } } \underbrace{ e ^ { \int\limits_0^t \gamma\left( t \right) \Alpha\left( t \right)^{\top} \dd t } }_{ \substack{ \tiny{ фаворитизм } } } \underbrace{ e ^ { \int\limits_0^t \gamma\left( t \right) \mathbf { \nu }\left( t \right) \otimes \mathbf{ \beta }\left( t \right) \dd t } }_{ \substack{ \tiny{ объективизм } } } \underbrace{ \mathbf{k^0} }_{ \substack{ \tiny{ исходное } \\ \tiny{ положение } } } . } \end{equation}$$

Контекст

В задаче о консерватории применяется частный случай уравнений Осипова — линейной однородной ланчестерской модели с матрицей потерь от прицельного огня $C = \gamma \Phi ^ { \top }$ и вектором относительных потерь $\mathbf{ a } = - \mathbf{ \theta }$ (предполагая неравномерное выбытие). В силу этого, задача решаема аналитически; дополнительное ограничение — неизменная численность сообщества — означает, что матрица взаимодействий групп $С + \diag{ \mathbf{ a } } = \gamma \Phi ^ { \top } - \diag{ \mathbf{ \theta } }$ имеет особый вид.

Ссылки

• morky «О наказании за русскость» // LiveJournal.com : Запись в сетевом дневнике. — 26 февраля 2005.