Быстрота

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Быстрота́ (англ. rapidity) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»).

Быстрота выражается формулой: $$\theta=c\,\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},$$ где

  • \(~\theta\) — быстрота,
  • \(~v\) — обычная скорость,
  • \(~c\) — скорость света,
  • \(\mathrm{Arth}\,x\) — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) \(\mathrm{Arth}\,x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\) определён в области значений аргумента от −1 до +1; при \(x\to\plusmn 1\) \(\mathrm{Arth}\,x\to\plusmn\infty.\)

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от \(~-c\) до \(~+c\) меняется от \(-\infty\) до \(+\infty\). Иногда вводят также параметр быстроты \(\varphi\equiv\theta/c\equiv\mathrm{Arth}\,\frac{v}{c}\) — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой.

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: $$\theta\approx v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)$$при \(v\ll c.\). Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или Ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как $$\gamma\equiv\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}.$$ Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты: $$\gamma=\mathrm{ch}\,\varphi.$$ С увеличением скорости от 0 до \(~c\) Лоренц-фактор \(~\gamma\) увеличивается от 1 до \(+\infty\).

Аддитивность быстроты[править]

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта \(~K\) две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна \(~v_1\), а скорость второй относительно первой равна \(~v'_2\) (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе \(~K\) через \(~v_2\). При малых (по сравнению со скоростью света \(~c\)) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей \(~v_2=v_1+v'_2\). Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей $$v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}$$ отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты \(\theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}\). Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта \(K\) равна сумме быстрот: $$~\theta_2=\theta_1+\theta'_2.$$ Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

См. также[править]

Литература[править]