Градиент

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Таким образом операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены в горку и тем длиннее, чем круче наклон.

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку» или многомодовое оптическое волокно, где в светопроводящем материале (например, в кврцевом стекле) использовано явление градиента коэффициента преломления n.

Определение[править]

Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами \(\frac {\partial \varphi} {\partial x}\), \(\frac {\partial \varphi} {\partial y}\), \(\frac {\partial \varphi} {\partial z}\), где \(\varphi\) — некоторая скалярная функция координат \(x\), \(y\), \(z\).

Если \(\varphi\) — функция \(n\) переменных \(x_1,\;\ldots,\;x_n\), то её градиентом называется \(n\)-мерный вектор $$\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),$$

компоненты которого равны частным производным \(\varphi\) по всем её аргументам.

Градиент обозначается \(\mathrm{grad}\,\varphi\) или, с использованием оператора набла, \(\nabla \varphi\).

Из определения градиента следует, что:

\(\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.\)

Смысл градиента любой скалярной функции \(f\) в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения \(d\mathbf{x}\) дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена \(f\), то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения \(f\) при смещении на \(d\mathbf{x}\). Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

\(df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 + \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).\)

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат \(x_i\), то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку \(d\mathbf{x}\) — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

\(d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i\)

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

\(df=(\partial_i f)\,dx^i\)

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пример[править]

Например, градиент функции \(\varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} z\) будет представлять собой: $$\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} z)$$

В физике[править]

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды, градиент коэффициента преломления n световых лучей в многомодовых воло́кнах (Волоконная оптика) и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Параболический градиент показателя преломления[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Волоконная оптика
Градиентная линза с параболической зависимостью показателя преломления (n) от радиального расстояния (x). Такая линза фокусирует свет, не так как традиционные линзы.

Если показатель преломления среды не постоянен, но изменяется с определённым ускорением и когда известен материал, то это — оптический материал с градиентным профилем. Прохождение светового луча через такую среду может быть с изменением траектории волны (например, по параболе)или сосредоточено по прямой линии. Этот эффект используется при изготовлении линз, некоторых оптических волокон (многомодовых) и других оптических устройствах. Немного явлений — общих миражей также вызваны пространственно-переменным градиентным коэффициентом преломления n нагретового воздуха.[1][2]

Геометрический смысл[править]

Рассмотрим семейство линий уровня функции \(\varphi\): $$\gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.$$

Нетрудно показать, что градиент функции \(\varphi\) в точке \(\vec{x}{\,}^0\) перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности \(\vec{x}{\,}^0\), то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

Связь с производной по направлению[править]

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции \(\varphi\) по направлению \(\vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n)\) равняется скалярному произведению градиента \(\varphi\) на единичный вектор \(\vec{e}\): $$ \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e) $$

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах[править]

$$\operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,$$ где \(H_i\) — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости)[править]

Коэффициенты Ламе: $$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r. \end{matrix}$$ Отсюда: $$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.$$

Цилиндрические координаты[править]

Коэффициенты Ламе: $$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix}$$ Отсюда: $$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.$$

Сферические координаты[править]

Коэффициенты Ламе: $$\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix}.$$ Отсюда: $$\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.$$

См. также[править]

Примечания[править]

  1. http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index
  2. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_index_optics