Действие группы

Говорят, что группа $G$ действует на множестве $M$, если задан гомоморфизм $\Phi:G\to S(M)$ из группы $G$ в группу $S(M)$ всех перестановок множества $M$. Для краткости $(\Phi(g))(m)$ часто записывают как $g m$.

Другими словами, группа $G$ действует на множестве $M$, если задано отображение $G\times M\to M$ (обозначаемое $(g,m)\mapsto gm$), такое что

1. $(gh)m = g(hm)$ для всех $g,h\in G$, $m\in M$ и
2. $em = m,$ где $e$ есть единица $G$.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных $g, h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm \ne hm$.
• Транзитивное если для любых $m,n\in M$ существует $g\in G$ такой, что $gm = n$. Другими словами, действие транзитивно, если $Gm = M$ для любого элемента $m\in M$.
• Эффективное, если для любых $g, h\in G$ существует $m\in M$ такой, что $gm \not= hm$.

Орбиты

Подмножество $$G m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M$$ называется орбитой элемента $m\in M$.

Действие группы $G$ на множестве $M$ определяет на нём отношение эквивалентности $$\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad \left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \left(Gn=Gm\right).$$ При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно $k$, то $$M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k,$$ где $m_1, m_2, \dots, m_k\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k=1$.

Стабилизаторы

Подмножество $$G_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G$$ является подгруппой группы $G$ и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента $m\in M$.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\sim_G m$, то найдется такой элемент $g\in G$, что $$G_m=g\, G_n\, g^{-1}.$$

Количество элементов в орбите

$$|G m|=[G:G_m],$$ где $[G:G_m]$ — индекс подгруппы $G_m\subset G$, в случае конечных групп равен $\frac{|G|}{|G_m|}$.

Если $M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k$, то $$|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]$$— формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества $$\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G|$$ $$\sum_{m\in M} |G_m| = k |G|$$ и лемму Бернсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, $M = G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(\Phi(g))(h)=g h$.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, $(\Phi(g))(h)=h g^{-1}$.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times G$ на $M = G$ с гомоморфизмом $\Phi:G\times G\to S(G)$ заданым как $(\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}$.

Сопряжениями

Пусть $M = G$ и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как $(\Phi(g))(h)=g h g^{-1}$. При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор $G_h$ совпадает с централизатором $C(h)$: $$G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h).$$ Например, для элемента $h$ из центра группы $G$ (т.е. $h\in Z(G)$) имеем $C(m)=G$ и $G_h=G$.

Литература

• Винберг Э.Б. "Курс алгебры" - 3-е издание, М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002, ISBN 5-88688-0607
• Кострикин А. И. "Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры": Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.