Действие группы

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Говорят, что группа \(G\) действует на множестве \(M\), если задан гомоморфизм \(\Phi:G\to S(M)\) из группы \(G\) в группу \(S(M)\) всех перестановок множества \(M\). Для краткости \((\Phi(g))(m)\) часто записывают как \(g m \).

Другими словами, группа \(G\) действует на множестве \(M\), если задано отображение \(G\times M\to M\) (обозначаемое \((g,m)\mapsto gm\)), такое что

  1. \((gh)m = g(hm)\) для всех \(g,h\in G\), \(m\in M\) и
  2. \(em = m,\) где \(e\) есть единица \(G\).

Типы действий[править]

  • Свободное, если для любых различных \(g, h\in G\) и любого \(m\in M\) выполняется \(gm \ne hm\).
  • Транзитивное если для любых \(m,n\in M\) существует \(g\in G\) такой, что \(gm = n\). Другими словами, действие транзитивно, если \(Gm = M\) для любого элемента \(m\in M\).
  • Эффективное, если для любых \(g, h\in G\) существует \(m\in M\) такой, что \(gm \not= hm\).

Орбиты[править]

Подмножество $$G m = \{ gm\mid g\in G \}\subset M$$ называется орбитой элемента \(m\in M\).

Действие группы \(G\) на множестве \(M\) определяет на нём отношение эквивалентности $$\forall n, m\in M\qquad \left(n\sim_G m\right)\quad \Longleftrightarrow\quad \left(\exists g\in G\ \ gn=m\right)\quad\Longleftrightarrow\quad \left(Gn=Gm\right).$$ При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно \(k\), то $$M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k,$$ где \(m_1, m_2, \dots, m_k\in M\) попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия \(k=1\).

Стабилизаторы[править]

Подмножество $$G_m = \{ g\in G\mid gm=m \}\subset G$$ является подгруппой группы \(G\) и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента \(m\in M\).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если \(n\sim_G m\), то найдется такой элемент \(g\in G\), что $$G_m=g\, G_n\, g^{-1}.$$

Количество элементов в орбите[править]

$$|G m|=[G:G_m],$$ где \([G:G_m]\) — индекс подгруппы \(G_m\subset G\), в случае конечных групп равен \(\frac{|G|}{|G_m|}\).

Если \(M = Gm_1 \sqcup Gm_2 \sqcup \dots \sqcup Gm_k\), то $$|M| = \sum_{t=1}^k [G:G_{m_t}]$$— формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества $$\forall m\in M\quad \sum_{n\in Gm} |G_n| = |G|$$ $$\sum_{m\in M} |G_m| = k |G|$$ и лемму Бернсайда.

Примеры действий[править]

Действия на себе[править]

Слева[править]

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, \(M = G\) и гомоморфизм \(\Phi:G\to S(G)\) задан как \((\Phi(g))(h)=g h\).

Справа[править]

Аналогично определяется действие на себе справа, \((\Phi(g))(h)=h g^{-1}\).

Слева и справа[править]

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения \( G\times G\) на \(M = G\) с гомоморфизмом \(\Phi:G\times G\to S(G)\) заданым как \((\Phi(g_1,g_2))(h)=g_1 h g_2^{-1}\).

Сопряжениями[править]

Пусть \(M = G\) и гомоморфизм \(\Phi:G\to S(G)\) задан как \((\Phi(g))(h)=g h g^{-1}\). При этом для каждого элемента \(h\in G\) стабилизатор \(G_h\) совпадает с централизатором \(C(h)\): $$G_h = \{ g\in G\mid ghg^{-1}=h\} = \{ g\in G\mid gh=hg\} = C(h).$$ Например, для элемента \(h\) из центра группы \(G\) (т.е. \(h\in Z(G)\)) имеем \(C(m)=G\) и \( G_h=G\).

Литература[править]

  • Винберг Э.Б. "Курс алгебры" - 3-е издание, М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002, ISBN 5-88688-0607
  • Кострикин А. И. "Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры": Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. - ISBN 5-9221-0489-6.pms:Assion