Дисперсия случайной величины
Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.
Определение[править | править код]
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда
где символ обозначает математическое ожидание[1][2].
Замечания[править | править код]
- Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
- Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
- Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
- Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
- Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
- Удобная формула для вычисления дисперсии случайной последовательности :
- Однако, т.к. оценка дисперсии является смещённой, то для её подсчёта необходимо дополнительно умножать на . Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:
Свойства[править | править код]
- Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
- Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
- Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;
- Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
- , где — их ковариация;
- Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
- , где ;
- В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
Пример[править | править код]
Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины и математическое ожидание случайной величины Тогда дисперсия случайной величины
См. также[править | править код]
- Среднеквадратическое отклонение
- Моменты случайной величины
- Ковариация
- Выборочная дисперсия
- Независимость (теория вероятностей)
- Скедастичность
- Абсолютное отклонение
Примечания[править | править код]
- ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.о книге
- ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.о книге
Литература[править | править код]
- Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259о книге
- Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.о книге