Дисперсия случайной величины

From Традиция
Jump to navigation Jump to search

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D [ X ] D[X] в русской литературе и Var ( X ) \operatorname{Var}(X) (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение σ X 2 \sigma_X^2 или σ 2 \displaystyle \sigma^2 . Квадратный корень из дисперсии, равный σ \displaystyle \sigma , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение[edit | edit source]

Пусть X X  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда D [ X ] = M [ | X M [ X ] | 2 ] D[X] = M\left[|X -M[X]|^2\right]

где символ M M обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания[edit | edit source]

  • Если случайная величина X X вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
    D [ X ] = M [ X 2 ] ( M [ X ] ) 2 ; D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
  • Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов U ( t ) U(t) :
    D [ X ] = M [ X 2 ] ( M [ X ] ) 2 = U ( 0 ) ( U ( 0 ) ) 2 D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U''(0) - \left(U'(0)\right)^2
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
  • Удобная формула для вычисления дисперсии случайной последовательности X 1 . . . X n X_1... X_n :
    D = i = 1 n X i 2 ( i = 1 n X i ) n 2 n \! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n}
Однако, т.к. оценка дисперсии является смещённой, то для её подсчёта необходимо дополнительно умножать на n n 1 \frac{n}{n - 1} . Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:

D = i = 1 n X i 2 ( i = 1 n X i ) n 2 n 1 \! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n - 1}

Свойства[edit | edit source]

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: D [ X ] 0 ; D[X] \geqslant 0;
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: D [ a ] = 0. D[a] = 0. Верно и обратное: если D [ X ] = 0 , D[X]=0, то X = M [ X ] X =M[X] почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov ( X , Y ) \! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y) , где cov ( X , Y ) \! \text{cov}(X, Y)  — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
    D [ i = 1 n c i X i ] = i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 1 i < j n c i c j cov ( X i , X j ) \! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j) , где Undefined control sequence \R c_i \in \R ;
  • В частности, D [ X 1 + . . . + X n ] = D [ X 1 ] + . . . + D [ X n ] D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n] для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
  • D [ a X ] = a 2 D [ X ] ; D\left[aX\right] = a^2D[X];
  • D [ X ] = D [ X ] ; D\left[-X\right] = D[X];
  • D [ X + b ] = D [ X ] . D\left[X+b\right] = D[X].

Пример[edit | edit source]

Пусть случайная величина X \displaystyle X имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на [ 0 , 1 ] , \displaystyle [0,1], то есть её плотность вероятности задана равенством f X ( x ) = { 1 , x [ 0 , 1 ] 0 , x [ 0 , 1 ] . f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины M [ X 2 ] = 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 , M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3}, и математическое ожидание случайной величины M [ X ] = 0 1 x d x = x 2 2 | 0 1 = 1 2 . M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}. Тогда дисперсия случайной величины D [ X ] = M [ X 2 ] ( M [ X ] ) 2 = 1 3 ( 1 2 ) 2 = 1 12 . D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.

См. также[edit | edit source]

Примечания[edit | edit source]

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.о книге
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.о книге

Литература[edit | edit source]