Дисперсия случайной величины

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается \(D[X]\) в русской литературе и \(\operatorname{Var}(X)\) (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение \(\sigma_X^2\) или \(\displaystyle \sigma^2\). Квадратный корень из дисперсии, равный \(\displaystyle \sigma\), называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что случайная величина отстоит от своего математического ожидания более чем на k стандартных отклонений, составляет менее 1/k². Так, например, как минимум в 95 % случаев случайная величина, имеющая нормальное распределение, удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение[править]

Пусть \(X\) — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда $$D[X] = M\left[|X -M[X]|^2\right] $$

где символ \(M\) обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания[править]

  • Если случайная величина \(X\) вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:
    \(D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;\)
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
  • Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов \(U(t)\):
    \(D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2 = U''(0) - \left(U'(0)\right)^2\)
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
  • Удобная формула для вычисления дисперсии случайной последовательности \(X_1... X_n\):
    \(\! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n}\)
Однако, т.к. оценка дисперсии является смещённой, то для её подсчёта необходимо дополнительно умножать на \(\frac{n}{n - 1}\). Таким образом, итоговая формула будет выглядеть:

$$\! D=\dfrac{\sum_{i=1}^nX_i^2 -\dfrac{\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)}{n}^2}{n - 1}$$

Свойства[править]

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: \(D[X] \geqslant 0;\)
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: \(D[a] = 0.\) Верно и обратное: если \(D[X]=0,\) то \(X =M[X]\) почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    \(\! D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)\), где \(\! \text{cov}(X, Y)\) — их ковариация;
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
    \(\! D\left[\sum_{i=1}^n c_i X_i\right] = \sum_{i=1}^n c_i^2 D[X_i] + 2 \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} c_i c_j\, \text{cov}(X_i, X_j)\), где \(c_i \in \R\);
  • В частности, \(D[X_1 + ... + X_n] = D[X_1] + ... + D[X_n]\) для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
  • \(D\left[aX\right] = a^2D[X];\)
  • \(D\left[-X\right] = D[X];\)
  • \(D\left[X+b\right] = D[X].\)

Пример[править]

Пусть случайная величина \(\displaystyle X\) имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на \(\displaystyle [0,1],\) то есть её плотность вероятности задана равенством $$ f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, & x\in [0,1] \\ 0, & x \not\in [0,1]. \end{matrix} \right.$$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины $$M\left[X^2\right] = \int\limits_0^1\!x^2\, dx = \left. \frac{x^3}{3}\right\vert_0^1 = \frac{1}{3},$$ и математическое ожидание случайной величины $$M\left[X\right] = \int\limits_0^1\! x\, dx = \left. \frac{x^2}{2}\right\vert_0^1 = \frac{1}{2}.$$ Тогда дисперсия случайной величины $$D[X] = M\left[X^2\right] - (M[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}.$$

См. также[править]

Примечания[править]

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.>
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.>

Литература[править]