Закон Серсика

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Введение[править]

Закон Серсика — эмпирический закон распределения поверхностной яркости галактики, является обобщением закона Вокулера.

Формулу Серсика, которая является обобщением закона Вокулера, часто записывают в следующем виде:

\(I(r) = I_0 e^{-\nu_n \alpha^{1/n}}\),

где I0 - центральная поверхностная яркость, α = r / re, n - положительное действительное число и νn - константа, выбираемая так, чтобы в пределах re излучалась половина полной светимости. В более похожем на закон Вокулера виде (формула \({ \href {//traditio.wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip {\lg}{ Десятичный логарифм }}} \frac{I(r)}{I_e} = - 3,33071\left [ (\frac{r}{r_e})^{1/4} - 1 \right ] \) ) ее можно записать так:

\(\frac{I(r)}{I_e} = exp\left [- \nu_n (\left [\frac{r}{r_e}\right ]^{1/n} - 1) \right ], \)

где \(I_e = I_0 e^{-\nu_n}.\) При n = 4 ν = 7,66925 и формула Серсика переходит в формулу Вокулера.

Распределение яркости, соответствующее формулам \(I(r) = I_0 e^{-\nu_n \alpha^{1/n}}\) и \(\frac{I(r)}{I_e} = exp\left [- \nu_n (\left [\frac{r}{r_e}\right ]^{1/n} - 1) \right ]\), можно представить так: $$\mu (r) = \mu_0 + \frac{2,5 \nu_n}{{ \href {//traditio.wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip {\ln}{ Натуральный логарифм }}} 10} \left ( \frac{r}{r_e} \right )^{1/n} .$$

При n = 4 эта формула превращается в формулу μ(r) = μe + 8,32678 [(r / re)1/4 - 1]. Из \(\mu (r) = \mu_0 + \frac{2,5 \nu_n}{{ \href {//traditio.wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip {\ln}{ Натуральный логарифм }}} 10} \left ( \frac{r}{r_e} \right )^{1/n}\) следует, что эффективная поверхностная яркость (μe = μ (re)) для этой модели записывается как μe = μ0 + 2,5 νn / ln 10.

Светимость, излучаемая в пределах расстояния r от центра галактики, равна $$L( \le \;r) = \frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}} \gamma(2 n, \nu_n \alpha^{1/n}) I_0 r_e^2 ,$$

где \(\gamma (\eta, x) = \int\limits_{0}^{x} e^{-t} t^{\eta - 1}\, dt\) - неполная гамма-функция Полная светимость: $$L_T = \frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}} \Gamma (2 n) I_0 r_e^2 .$$

где Γ (η) = γ (η , ∞) - гамма-функция. Кривая относительной светимости: $$k(\alpha) = \frac{L(\le \;r)}{L_T} = \frac{\gamma (2 n, \nu_n \alpha^{1/n})}{\Gamma (2 n)} .$$

Как несложно убедиться, при n = 4 формулы \(L_T = 2 \pi I_e r_e^2 (1 - \epsilon) \int\limits_{0}^{+ \infty} exp[-\nu (\alpha^{1/4} - 1)]\, d \alpha = 8! \pi \frac{e^{\nu}}{\nu^8} (1 - \epsilon) I_e r_e^2 \) (где ν = β ln 10) и \(L_T = \frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}} \Gamma (2 n) I_0 r_e^2 \) совпадают. (Единственное отличие состоит в том, что формула \(L_T = 2 \pi I_e r_e^2 (1 - \epsilon) \int\limits_{0}^{+ \infty} exp[-\nu (\alpha^{1/4} - 1)]\, d \alpha = 8! \pi \frac{e^{\nu}}{\nu^8} (1 - \epsilon) I_e r_e^2 \) (где ν = β ln 10) записана для галактики с видимой эллиптичностью ε, а \(L_T = 2 \pi I_e r_e^2 (1 - \epsilon) \int\limits_{0}^{+ \infty} exp[-\nu (\alpha^{1/4} - 1)]\, d \alpha = 8! \pi \frac{e^{\nu}}{\nu^8} (1 - \epsilon) I_e r_e^2 \) - для объекта с круглыми изофотами В случае, если изофоты галактики могут быть аппроксимированы эллипсами, уравнения \(L( \le \;r) = \frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}} \gamma(2 n, \nu_n \alpha^{1/n}) I_0 r_e^2 \) и \(L_T = \frac{2 \pi n}{\nu_n^{2n}} \Gamma (2 n) I_0 r_e^2\) должны быть домножены на множитель \((1 - \epsilon)\)).

Из определения эффективного радиуса re следует, что константа νn может быть найдена из уравнения \(\gamma (2 n, \nu_n) = \frac{1}{2} \Gamma (2 n) .\) Для n = 1 - 10 точные значения νn приведены в таблице (ниже). В литературе опубликовано несколько интерполяционных зависимостей νn от n. В работе[1] показано, что $$\nu_n = 2 n - \frac{1}{3} + \frac{4}{405 n} + \frac{46}{25515 n^2} + O (n^{-3})$$

с относительной погрешностью ≤ 10−6. Формулы других авторов, как правило, сводятся к первым двум членам разложения \(\nu_n = 2 n - \frac{1}{3} + \frac{4}{405 n} + \frac{46}{25515 n^2} + O (n^{-3}).\)

Таблица: Точные значения коэффициента νn согласно (Ciotti L., Bertin G., A&A, v.352, p.447, 1999)

n
νn
1 1.67834699
2 3.67206075
3 5.67016119
4 7.66924944
5 9.66871461
6 11.6683632
7 13.6681146
8 15.6679295
9 17.6677864
10 19.6676724

Яркие эллиптические галактики хорошо описываются законом Серсика при n ~ 4, карликовые эллиптические галактики и диски спиральных галактик - при n ~ 1, а балджи и эллиптические галактики промежуточных светимостей могут быть представлены формулой \(I(r) = I_0 e^{-\nu_n \alpha^{1/n}}\) при 1 ≤ n ≤ 4. Примеры профилей яркости при разных значениях n показаны на рисунке.

Распределения поверхностной яркости для закона r1/n при n = 1 - 10. Все модели имеют одинаковое значение re, эффективная поверхностная яркость изменяется как μe = 22.0 - 0.25 n. Самая жирная кривая соответствует модели с n = 1, самая тонкая - n = 10.

Динамические свойства закона r1/n обсуждаются в работах[2][3][4][5]


Страница: 0

en Sersic profile

Примечания[править]

  1. Ciotti L., Bertin G., A&A, v.352, p.447, 1999
  2. Ciotti L., A&A, v.249, p.99, 1991;
  3. Bendinelli O., Ciotti L., Parmeggiani G., A&A, v.279, p.668, 1993;
  4. Ciotti L., Bertin G., A&A, v.352, p.447, 1999;
  5. Simonneau E., Prada F., MNRAS (astro-ph/9906151)

См. также[править]

Ссылки[править]

Закон Серсика на:

Литература[править]

Для статьи[править]