Интеграл Римана

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Понятие[править]

Рассмотрим вещественную функцию \(~f(x)\), определённую на отрезке \(~[a,b]\), то есть \(x\in[a,b]\).

На отрезке \(~[a,b]\) зададим разбиение \(~a = x_0\) (то есть конечное множество попарно различных точек на отрезке). Это разбиение поделит отрезок \(~[a,b]\) на \(~n\) отрезков \([x_{i-1}, x_i],\; i=1\dots n\).

Положим \(~\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\; i=1\dots n\).

Диаметром разбиения называется наибольшая из длин таких отрезков, то есть \(~\Delta = \max\Delta x_i\).

На каждом отрезке разбиения отметим по точке \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\).

Интегральной суммой будет называться сумма площадей прямоугольников с основанием \(~[x_{i-1}, x_i]\) и высотой \(~f(\xi_i)\), то есть:
\(\sum_{i=1}^n \Delta x_i f(\xi_i)\).

Если при стремлении диаметра разбиения к нулю существует предел последовательности интегральных сумм, то функция \(~f(x)\) называется интегрируемой по Риману, а предел — определённым интегралом Римана, и обозначается
\(\int_a^b f(x)\,dx\)

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он представляет из себя площадь криволинейной трапеции, то есть фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции и осями \(~x=a\), \(~x=b\).

Необходимое условие интегрируемости функций[править]

Теорема. Для того, чтобы функция \(~f(x)\), определённая на отрезке \(~[a,b]\), была интегрируема на нём по Риману, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Предположим, что \(~f(x)\) не ограничена на отрезке \(~[a,b]\). Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок \(~[x_{k-1},x_k]\), на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое \(~\Delta x_k f(\xi_k)\) будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.

Замечание[править]

Не всякая ограниченная функция является интегрируемой.

Верхние и нижние интегральные суммы[править]

Пусть \(~m_i = \inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x)\), то есть точная нижняя грань функции на отрезке, а \(~M_i = \sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x)\), то есть точная верхняя грань функции на отрезке.

Суммы \(~s = \sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i\) и \(~S = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i\) называются нижней и верхней интегральной суммой соответственно.

Свойства верхних и нижних сумм[править]

  1. Для любого фиксированного разбиения \(~T\) и для любого \(~\varepsilon>0\) промежуточные точки \(~\xi_i\) на их отрезках можно выбрать таким образом, что интегральная сумма \(~I\) будет удовлетворять неравенствам:
    \(~ 0 \le S - I < \varepsilon\). Точки \(~\xi_i\) можно выбрать и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам:
    \(~ 0 \le I - s < \varepsilon\).
  2. Если разбиение \(~T'\) получено путём добавления новых точек к разбиению \(~T\), то верхняя сумма \(~S'\) разбиения \(~T'\) не больше верхней суммы \(~S\) разбиения \(~T\), а нижняя сумма \(~s'\) разбиения \(~T'\) не меньше нижней суммы \(~s\) разбиения \(~T\). Т.е.:
    \(~s \le s',\, S' \le S\).

Литература[править]

  1. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — М.: МЦНМО, 2002.
  2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I — М.: Наука, 1982.