Метод Остроградского

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Метод Остроградского - метод выделения рациональной части неопределенного интеграла \(\int {P(x) \over Q(x)}\, dx\), где Qмногочлен, имеющий кратные корни, а P(x) — многочлен степени m ≤ n.

Если Р(x):Q(x) представляет собой правильную несократимую дробь и знаменатель Q(x) разлагается на простые множители, то есть Q(x)= (x-a)k...(x2+px+q)m, то интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей следующих двух видов: \(\frac {A_1}{x-a} +\frac {A_2}{(x-a)^2} +... \frac {A_k}{(x-a)^k} ;\quad \frac {M_1 x+N_1}{x^2+px+q}+ ... +\frac {M_m x+N_m}{(x^2+px+q)^m}\) , где A1,A2,... Ak, M1,M2,... Mm, N1, N2,..., Nm — некоторые постоянные коэффициенты. Если k (или m) больше единицы, то интегралы всех дробей первого вида (кроме интеграла от дроби \(\frac {A_1}{x-a}\) ) находятся по формуле: \(\int \frac {A}{(x-a)^k}\, dx= -\frac {A}{k-1}\cdot \frac {1}{(x-a)^{k-1}} + C \),а интегралы всех дробей второго вида представляются в следующей форме: \(\int \frac {Mx+N}{(x^2 +px+q)^m}\, dx= \frac {R(x)}{(x^2 +px+q)^{m-1}} + \lambda \int \frac {dx}{x^2+px+q}\).

После объединения (суммирования) всех этих результатов получим равенство вида: \(\int \frac {P(x)}{Q(x)}\, dx = \frac {P_1 (x)}{Q_1 (x)} +\int \frac {P_2 (x)}{Q_2 (x)}\, dx\) , где рациональная часть интеграла P1 (x) : Q1 (x) получается путем сложения выведенных выше рациональных частей и представляет собой правильную дробь со знаменателем Q1(x)=(x-a)k-1...(x2+px+q)m-1, не имеющим кратных множителей (корней), то есть этот знаменатель Q2(x) содержит все те же множители (корни), что и знаменатель Q(x) первоначальной дроби, но уже только в первой степени.

Очевидно, Q(x)=Q1(x)·Q2(x).

Остроградский нашел метод выделения рациональной части P1(x):Q1(x) интегралов от правильных рациональных дробей чисто алгебраическим путем, не пользуясь методами интегрального исчисления.

Прежде всего находим \(Q_l\) как общий наибольший делитель функции Q(x) и её производной \(Q' (x)\) (например, с помощью алгоритма Евклида); определив Ql(x), найдем Q2(x)=Q(x): Q1(х). После этого в равенстве (формуле) Остроградского остается определить два многочлена P1(x) и Р2(х). Так как степени искомых многочленов P1(x) и Р2(х) соответственно ниже степеней найденных уже многочленов Ql(x) и Q2(x), то мы их в равенство Остроградского запишем с неопределенными коэффициентами, а затем, продифференцировав обе части этого равенства, получим следующее тождество: \(\frac {P(x)}{Q(x)} = \Big ( \frac {P_1 (x)}{Q_1 (x)} \Big )' + \frac {P_2 (x)}{Q_2 (x)}\).

После приведения к общему знаменателю, приравняв друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях левой и правой частей этого тождества, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов искомых многочленов P1(x) и Р2(х). Решая эту систему, найдем неизвестные коэффициенты (а значит, и сами многочлены).

Теперь для получения интеграла от первоначально заданной дроби Р(x):Q(х) остаётся проинтегрировать дробь P2(x):Q2(x), которая выражается уже только через трансцендентные функции (логарифмы и арктангенсы).

Итак, в равенстве (формуле) Остроградского имеем: P(x):Q(x), P1(x):Q1(x) и P2(x):Q2(x) - правильные рациональные дроби, Q1(x) - общий наибольший делитель Q(x) и Q'(x), а Q2(x)=Q(x):Q1(x). P1(x) и P2(x) - многочлены, находимые методом неопределенных коэффициентов.