Модель Лотки-Вольтерры

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Модель Лотки-Вольтерры — математическая модель системы «хищник-жертва», предложенная независимо друг от друга А. Дж. Лоткой в 1925 и Вито Вольтеррой в 1926. Является частным случаем обобщённых уравнений Лотки-Вольтерры; также может считаться частным случаем уравнений Арриджи-Гинцбурга.

Допущения[править]

Предполагается, что ареал закрыт, пропитания для травоядных жертв в избытке, а сами они — единственная пища хищников.

Модель[править]

Если численность травоядных — \(x\), а хищников — \(y\), то потери травоядных от хищников в единицу времени будут пропорциональны вероятности их встречи, в свою очередь, пропорциональной численности тех и других, и составят \(\beta x y\). Часть съеденного хищники направят на размножение, которое составит \(\delta x y\); очевидно, что \(\delta \ll \beta\).

Далее, если обозначить коэффициент естественного прироста травоядных как \(\alpha\), а коэффициент естественной убыли хищников без пищи — \(\gamma\), то изменение численности тех и других будет описываться системой уравнений:

\begin{equation} \label{lv} \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( - \gamma + \delta x \right) \end{cases} \end{equation}

Решения[править]

Равновесие[править]

Равновесие в системе описывается уравнениями: \begin{cases} \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = 0 \\ \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta y \right) = 0 \end{cases}

Эта система имеет два решения: \(\bar{x} = \bar{y} = 0\), соответствующее полному вымиранию, и

\begin{equation} \label{stable} \begin{cases} \bar{x} = \dfrac{\gamma}{\delta} \\ \bar{y} = \dfrac{\alpha}{\beta} \end{cases} \end{equation}

Малые колебания[править]

Предположим, что численность хищников и жертв незначительно отклоняется от ненулевого равновесия: \(x = \bar{x} + \tilde{x}\), \(\tilde{x} \ll \bar{x}\), \(y = \bar{y} + \tilde{y}\), \(\tilde{y} \ll \bar{y}\). Тогда, с учётом выведенных производных \(\eqref{lv}\), формул \(\eqref{stable}\) для \(\bar{x}\) и \(\bar{y}\) и того, что \(\tilde{x}\tilde{y}\) — бесконечно малая более высокого порядка, чем \(\tilde{x}\) и \(\tilde{y}\):

\begin{cases} \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{dx}{dt} = x \left( \alpha - \beta y \right) = \left( \bar{x} + \tilde{x} \right) \left( \alpha - \beta \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \\ \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = \dfrac{dy}{dt} = y \left( -\gamma + \delta x \right) = \left( \bar{y} + \tilde{y} \right) \left( - \gamma + \delta \left(\bar{x} + \tilde{x} \right) \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \end{cases}

Продифференцировав оба уравнения ещё раз и подставив их же в результат, получим:

\begin{cases} \dfrac{d^2\tilde{x}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{x}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} \right) = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{d\tilde{y}}{dt} = - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \times \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} = - \alpha\gamma\tilde{x} \\ \dfrac{d^2\tilde{y}}{dt^2} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{d\tilde{y}}{dt} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \tilde{x} \right) = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times \dfrac{d\tilde{x}}{dt} = \dfrac{\alpha \delta}{\beta} \times - \dfrac{\beta \gamma}{\delta} \tilde{y} = - \alpha\gamma\tilde{y} \end{cases}

Оба полученных уравнения описывают гармонический осциллятор с периодом \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}}\). Амплитуды и сдвиг фаз колебаний будут определяться отклонением первоначальных значений \(\tilde{x}_0\) и \(\tilde{y}_0\) от положения равновесия.

См. также[править]