Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) \(x_1,\ldots ,x_n, y_1,\ldots,y_n,\ 1\) и число \(q\) определяется равенством \({1\over p} + {1\over q}=1.\) Тогда справедливы неравенства:


\(\sum^{n}_{i=1} \mid x_i y_i \mid \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}\)


(Неравенство Гёльдера) и


\(\left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i + y_i \mid}^{1/p} \right) \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} + \left( \sum^{n}_{i=1} \ {\mid y_i\mid}^p \right)^{1/p}\)

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств.

Введём для краткости обозначения:

\(\lVert x\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p},\ \ \lVert y\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}\ \ (*)\)

Применив неравенство \(ab \leq {a^p\over p} + {b^q\over q}, \ \ a\geq 0,\ \ b\geq 0 \) к

\(a= {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p},\ \ b= {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q},\ \ i=1,2,\ldots , n,\ \text{имеем} {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p} \ {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q} \leq {1\over p} {\mid x_i\mid^p\over \lVert x\rVert^p_p} + {1\over q} {\mid y_i\mid^q\over \lVert y\rVert^q_q}.\)

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия \({1\over p}+{1\over q}=1\) получим

\({1\over \lVert x\rVert_q \lVert y\rVert_q} \sum^n_{i=1} \mid x_i y_i\mid \leq {1\over p\lVert x\rVert^p_p} \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p + {1\over q\lVert y\rVert^q_q} \sum^n_{i=1} \mid y_1 \mid^q \ =\ {1\over p}+{1\over q} =1,\)


откуда

\(\sum^n_{i=1} \mid x_i y_1 \mid \leq \lVert x \rVert_p \lVert y\rVert_q ;\)

тем самым неравенство Гёлдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

\( \sum^n_{i=1} \mid x_i+y_i\mid^p \leq \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid \mid x_i + y_i \mid^{p-1}\ +\ \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid \mid x_i +y_i \mid^{p-1} ,\)

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

\(\sum^n_{i=1} \mid x_i+ y_i \mid ^p \leq \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q} \ + \ \left( \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid^q \right )^{1/q}\ \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q}.\)

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель \(\left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^p \right)^{1/q}\) и заметив, что \({1\over p} + {1\over q} = 1, \ q(p-1)=p,\) получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов \(\sum^\infty_{n=1}\ x_n , \sum^\infty_{n=1}\ y_n\) справедливы аналогичные неравенства

\(\sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q \right)^{1/q} \ \ \ (1)\ ,\)

\(\left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} + \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p \right)^{1/p}\ \ \ (2)\ .\)

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при \(n \rightarrow\infty,\) мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды \(\sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p ,\ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q \)сходятся, то ряд \(\sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid\) сходится, а если сходятся ряды \(\sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p, \ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p,\) то сходится ряд \(\sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p .\)