Неравенство Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм

From Традиция
Jump to navigation Jump to search

Пусть заданы числа (вообще говоря комплексные) x 1 , , x n , y 1 , , y n ,   1 x_1,\ldots ,x_n, y_1,\ldots,y_n,\ 1 и число q q определяется равенством 1 p + 1 q = 1. {1\over p} + {1\over q}=1. Тогда справедливы неравенства:


i = 1 n x i y i ∣⩽ ( i = 1 n x i p ) 1 / p ( i = 1 n y i q ) 1 / q \sum^{n}_{i=1} \mid x_i y_i \mid \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}


(Неравенство Гёльдера) и


( i = 1 n x i + y i 1 / p ) ( i = 1 n x i p ) 1 / p + ( i = 1 n   y i p ) 1 / p \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i + y_i \mid}^{1/p} \right) \leq \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p} + \left( \sum^{n}_{i=1} \ {\mid y_i\mid}^p \right)^{1/p}

(Неравенство Минковского).

Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств.

Введём для краткости обозначения:

x p = d e f ( i = 1 n x i p ) 1 / p ,     y p = d e f ( i = 1 n y i q ) 1 / q     ( ) \lVert x\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid x_i\mid}^p \right)^{1/p},\ \ \lVert y\rVert_{p} =^{\!\!\!\!\!\!def} \left( \sum^{n}_{i=1} {\mid y_i\mid}^q \right)^{1/q}\ \ (*)

Применив неравенство a b a p p + b q q ,     a 0 ,     b 0 ab \leq {a^p\over p} + {b^q\over q}, \ \ a\geq 0,\ \ b\geq 0 к

a = x i x p ,     b = y i y q ,     i = 1 , 2 , , n ,   имеем x i x p   y i y q 1 p x i p x p p + 1 q y i q y q q . a= {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p},\ \ b= {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q},\ \ i=1,2,\ldots , n,\ \text{имеем} {\mid x_i\mid\over \lVert x\rVert_p} \ {\mid y_i\mid\over \lVert y\rVert_q} \leq {1\over p} {\mid x_i\mid^p\over \lVert x\rVert^p_p} + {1\over q} {\mid y_i\mid^q\over \lVert y\rVert^q_q}.

Просуммировав эти неравенства по i от 1 до n в силу (*) и условия 1 p + 1 q = 1 {1\over p}+{1\over q}=1 получим

1 x q y q i = 1 n x i y i ∣⩽ 1 p x p p i = 1 n x i p + 1 q y q q i = 1 n y 1 q   =   1 p + 1 q = 1 , {1\over \lVert x\rVert_q \lVert y\rVert_q} \sum^n_{i=1} \mid x_i y_i\mid \leq {1\over p\lVert x\rVert^p_p} \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p + {1\over q\lVert y\rVert^q_q} \sum^n_{i=1} \mid y_1 \mid^q \ =\ {1\over p}+{1\over q} =1,


откуда

i = 1 n x i y 1 ∣⩽ x p y q ; \sum^n_{i=1} \mid x_i y_1 \mid \leq \lVert x \rVert_p \lVert y\rVert_q ;

тем самым неравенство Гёлдера доказано.

Неравенство Минковского следует из неравенства Гёльдера из очевидного соотношения

i = 1 n x i + y i p i = 1 n x i ∣∣ x i + y i p 1   +   i = 1 n y i ∣∣ x i + y i p 1 , \sum^n_{i=1} \mid x_i+y_i\mid^p \leq \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid \mid x_i + y_i \mid^{p-1}\ +\ \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid \mid x_i +y_i \mid^{p-1} ,

применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гёльдера, получим

i = 1 n x i + y i p ( i = 1 n x i p ) 1 / p ( i = 1 n x i + y i q ( p 1 ) ) 1 / q   +   ( i = 1 n y i q ) 1 / q   ( i = 1 n x i + y i q ( p 1 ) ) 1 / q . \sum^n_{i=1} \mid x_i+ y_i \mid ^p \leq \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q} \ + \ \left( \sum^n_{i=1} \mid y_i \mid^q \right )^{1/q}\ \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^{q(p-1)} \right)^{1/q}.

Если левая часть неравенства равна нулю, то неравенство Минковского, очевидно, справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая обе части неравенства на множитель ( i = 1 n x i + y i p ) 1 / q \left( \sum^n_{i=1} \mid x_i + y_i \mid^p \right)^{1/q} и заметив, что 1 p + 1 q = 1 ,   q ( p 1 ) = p , {1\over p} + {1\over q} = 1, \ q(p-1)=p, получим неравенство Минковского.

Для любых двух рядов n = 1   x n , n = 1   y n \sum^\infty_{n=1}\ x_n , \sum^\infty_{n=1}\ y_n справедливы аналогичные неравенства

n = 1 x n y n ∣⩽ ( n = 1 x n p ) 1 / p ( n = 1 y n q ) 1 / q       ( 1 )   , \sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q \right)^{1/q} \ \ \ (1)\ ,

( n = 1 x n + y n p ) 1 / p ( n = 1 x n p ) 1 / p + ( n = 1 y n p ) 1 / p       ( 2 )   . \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p \right)^{1/p} + \left( \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p \right)^{1/p}\ \ \ (2)\ .

Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гёльдера и Минковского. Переходя в них к пределу при n , n \rightarrow\infty, мы и получим неравенства (1) и (2).

Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды n = 1 x n p ,   n = 1 y n q \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p ,\ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^q сходятся, то ряд n = 1 x n y n \sum^\infty_{n=1} \mid x_n y_n \mid сходится, а если сходятся ряды n = 1 x n p ,   n = 1 y n p , \sum^\infty_{n=1} \mid x_n \mid^p, \ \sum^\infty_{n=1} \mid y_n \mid^p, то сходится ряд n = 1 x n + y n p . \sum^\infty_{n=1} \mid x_n + y_n \mid^p .