Парадокс Эренфеста

Данный парадокс представляет собой мысленный эксперимент, призванный продемонстрировать несовместимость некоторых положений классической механики со специальной теорией относительности. Сформулирован нидерландским физиком-теоретиком Паулем Эренфестом в 1909 году.

Описание

Рассмотрим плоский, абсолютно твердый диск, вращающийся вокруг своей оси таким образом, чтобы линейная скорость его края была сравнима со скоростью света по порядку величины. Согласно специальной терии относительности, длина края этого диска должна испытывать лоренцово сокращение, равное

l = l₀(√1 - (v/c)²),

где l - длина края вращающегося диска относительно внешнего наблюдателя, l₀ - длина края вращающегося диска относительно внутреннего наблюбдателя (находящегося на диске), v - линейная скорость вращения края диска, а c - скорость света.

Длины внутренних (относительно края диска) окружностей также должны испытывать это сокращение, но не пропорциональное, сохраняющее этот диск плоским, а такое, чтобы последний обретал отрицательную кривизну. В радиальном направлении лоренцова сокращения нет, поэтому радиусы диска должны сохранять свою длину.

Согласно Эренфесту, это свидетельствует о невозможности приведения абсолютно твердого тела во вращательное движение (поскольку абсолютно твердое тело не может изменять свою форму). В то же время, в классической механике известно множество примеров жестких дисков, вращающихся с достаточно большой скоростью (шлифовальные камни, крыльчатки пылесосов и т.д.), для которых эффекты специальной теории отностельности должны быть ощутимыми.

Решение

Данный парадокс является софизмом. Абсолютно твердое тело - это такая же идеализация, допускаемая классической механикой, как материальная точка, идеальный газ, идеальная жидкость и т.д. Реальные тела не являются абсолютно твердыми и деформируются под воздействием соответствующих сил. Этот момент особо оговаривается в специальной теории относительности, в которой все воздействия передаются с конечной скоростью, не превышающей скорость света. В классической механике, если подействовать на абсолютно твердое тело некоторой силой, то все его точки должны мгновенно (одновременно) прийти в движение. Согласно специальной теории относительности, подобная ситуация невозможна, и точки тела неодновременно приходят в движение по мере того, как передают друг другу начальное воздействие с некоторой конечной скоростью. Следовательно, диск Эренфеста может вращаться и может изменять свою форму.

Впрочем, дело здесь даже не в этом, а в том, что сжатие тел, движущихся с околосветовой скоростью, - это кинематический эффект, который существует в одних системах отсчета и исчезает в других системах отсчета. Это сжатие не обусловлено никакими силами (поскольку происходит в инерциальных системах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно), оно обсловлено самой геометрией пространства-времени нашей Вселенной. Проблема в том, что в случае вращающегося диска говорить, что это сжатие не обусловлено никакими силами, можно только с большой натяжкой. Вращение диска - это неинерциальное движение, в котором действуют центробежные силы. Эти силы, правда, не искривляют диск, а только растягивают его в радиальном направлении. Но в эффекте Саньяка, например, поле этих сил привлекают для объяснения различного замедления времени обхода вращающегося тела по направлению и против направления вращения. Лучшего доказательства того, что эти силы влияют на релятивистские эффекты, не найти.

(Правда гораздо чаще эффект Саньяка объясняют релятивистским законом сложения скоростей, т.е. в рамках специальной, а не общей теории относительности. При этом оба объяснения рассматриваются как эквивалентные. Но, во-первых, эквивалентность обоих объяснений опять же доказывает, что центробежные силы могут влять на релятивистские эффекты. А во-вторых, все, кто объясняет эффект Саньяка релятивистским законом сложения скоростей, соглашаются, что пространственно-временная геометрия вращающегося диска является неевклидовой. То есть, опять же получается, что вращательное движение является неинерциальным... Хотя Эйнштейн, к примеру, считал, что это нисколько не мешает объяснять эффект Саньяка в рамках специальной теории относительности...)

Более того, в случае вращающегося диска мы не только не можем говорить, что его периметрическое сжатие не обусловлено никакими силами, но даже то, что это сжатие является лоренцовым! Лоренцово сжатие происходит только в относительном движении, в котором мы всегда можем указать такую систему отсчета, в которой движущееся (и, соответственно, сжимающееся) тело покоится. Например, внутреннюю систему отсчета самого этого тела. Но во вращательном движении мы не можем указать такую (локальную!) систему отсчета, относительно которой вращающееся тело покоилось бы, которую невозможно было бы отличить от невращающейся системы отсчета. Например, если мы возьмем два шара и заставим их вращаться вокруг одной и той же (воображаемой) оси с одной и той же скоростью и в одном направлении, то все равно не сможем говорить, что эти шары покоятся, поскольку на них все равно будут действовать центробежные силы (хотя друг относительно друга такие шары покоятся!). Происходит это потому, что вращательное движение осуществляется не относительно каких-то конкретных тел, а относительно всего пространства-времени нашей Вселенной. Или, что равносильно, относительно всех материальных тел во Вселенной. Вполне возможно, что не только существующих, но и тех, которые существовали когда-то или будут существовать...

Пока теория относительности не ответит на эти вопросы, бесполезно искать решение данного парадокса, оставаясь в ее сегодняшних рамках. Можно только искать экспериментальное подтверждение обозначенных в нем эффектов...