Парадокс лотереи

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Этот парадокс исходит из рассмотрения 1000 честных лотерейных билетов, о которых известно, что один из них точно выигрывает. Если это известно точно, то, следовательно, рационально считать, что какой-то из этих билетов обязательно выиграет. Считается, что такое событие весьма вероятно, если вероятность его больше 0,99. По этой же причине рационально считать, что именно 1-й билет лотереи не выиграет. Точно также рационально считать, что именно 2-й билет лотереи также не выиграет. И вообще, рационально считать, что никакой конкретный i-й билет лотереи не выиграет. С другой стороны, как только в этой последовательности умозаключений - что 1-й билет лотереи не выиграет, 2-й билет лотереи не выиграет, ... , i-й билет лотереи не выиграет - мы заключаем, что 1000-й билет лотереи не выиграет, то это равносильно тому, что ни один билет лотереи не выиграет. Получается, что если мы точно знаем, что один билет лотереи выигрывает, и, в то же время, согласны с только что полученной цепочной умозаключений, то если мы хотим играть в эту лотерею (потому что хотим выиграть), мы вынуждены принять противоречивое предположение: какой-то один билет лотереи должен выиграть и никакой билет лотереи не может выиграть.

Парадокс лотереи демонстрирует противоречивость трех популярных принципов, управляющих рациональным принятием решений:

1. Рационально принимать предположение, которое весьма вероятно является истиной;
2. Не рационально принимать предположение, которое, по вашему мнению, является противоречивым;
3. Если рационально принимать предположение A, и рационально принимать предположение В, то тогда рационально принимать оба этих предположения вместе, даже если они противоречат друг другу.


Данный парадокс является софизмом, поскольку содержит ошибку в рассуждениях. Когда мы заключаем, что 1-й билет лотереи не выиграет, 2-й билет лотереи также не выиграет, ... , i-й билет лотереи также не выиграет, то ни в коем случае не должны вставлять в эти выводы слово также, поскольку каждый из этих выводов делается НЕЗАВИСИМО для каждого билета. Вероятность того, что именно этот билет не выиграет, равна 0,99 только для этого одного билета, но не для нескольких билетов сразу. Если же мы рассматриваем сразу несколько билетов (например, если мы купили все эти билеты), то вероятность невыигрыша их всех понижается, а вероятность выигрыша одного из них повышается в тем большей степени, чем больше билетов мы рассматриваем.

Как только мы исправляем эту ошибку, то заключительный вывод - что 1000-й билет лотереи не выиграет - уже не будет равносилен тому, что ни один билет лотереи не выиграет. Потому что даже если мы переберем всю последовательность билетов и для каждого из них заключим, что он не выиграет, то все равно будет справедливо утверждение, что один из этих билетов выигрывает. Просто для одного из этих билетов сделанное заключение будет неверным.

Примеряя это к трем упомянутым принципам, мы видим, что 1-й принцип определяет уверенность человека, что один из 1000 билетов лотереи обязательно должен выиграть. 2-й принцип, по идее, должен заставить его отказаться от обоих предположений - что один из билетов лотереи обязательно выигрывает, и что ни один билет не выигрывает. Но поскольку второе предположение (что никакой билет не выигрывает) в данном парадоксе ошибочно, то 2-й принцип здесь не применим. Зато совершенно уместным становится 3-й принцип - по той же причине, по какой становится неуместным 2-й принцип. Не знаю точно, насколько законной в нем является возможность принимать одновременно противоречащие друг другу предположения (вполне допускаю, что она введена специально для этого и подобных ему парадоксов), но принимать одновременно непротиворечащие друг другу предположения - это вполне логично и рационально.

Данный парадокс аналогичен парадоксу неожиданной казни. В последнем заключенный с помощью логических рассуждений последовательно исключает дни недели как возможные дни казни, хотя на самом деле проверить это он может только прожив всю неделю последовательно день за днем. Точно также в парадоксе лотереи с помощью логических рассуждений мы последовательно исключаем выигрыш каждого билета, хотя на самом деле проверить выиграет он или не выиграет мы можем только скупив все билеты и последовательно предъявляя их в пункт выдачи выигрышей. Разница лишь в том, что в парадоксе неожиданной казни логические рассуждения зависят от последовательности перебора дней недели, а в парадоксе лотереи они не зависят от последовательности перебора билетов. Кроме того, разница в том, что в парадоксе лотереи эта ошибка становится несущественной, если исправляется первая ошибка.