Предел функции

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Преде́л фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа. Функция \(~f(x)\) имеет предел \(~A\) в точке \(~x_0\), если для всех значений \(~x\), достаточно близких к \(~x_0\), значение \(~f(x)\) близко к \(~A\).[1]

Определения[править]

  • (определение в терминах «ε−δ») Пусть дана функция \(f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) и \(a\in M'\) — предельная точка множества \(M.\) Число \(A\in \mathbb{R}\) называется пределом функции \(f\) при \(x,\) стремящемся к \(a\) \((x \to a)\), если
    \(\forall \varepsilon>0\; \exists \delta > 0\; \forall x \in M \quad (0\)
  • (окрестностное определение по Коши) Пусть дана функция \(~f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) и \(a\in M'\) — предельная точка множества \(~M.\) Число \(A\in \mathbb{R}\) называется пределом функции \(f\) при \(x,\) стремящемся к \(a\) \((x \to a)\), если для любой окрестности \(V(A)\) точки \(A\) существует проколотая окрестность \(\dot{U}(a)\) точки \(a\) такая, что
    \(\left(x \in \dot{U}(a)\right) \Rightarrow (f(x) \in V(A)).\)
    Фундаментальное обоснование данного определения предела см. в статье предел вдоль фильтра.
  • (определение по Гейне) Пусть дана функция \(f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) и \(a\in M'\) — предельная точка множества \(M.\) Будем называть \(\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}\) последовательностью Гейне, если \(\forall n\in \mathbb{N}\; \xi_n \in M \setminus \{a\},\) и \(\xi_n \to a\) при \(n \to \infty.\) Число \(A\in \mathbb{R}\) называется пределом функции \(f\) при \(x,\) стремящемся к \(a\) \((x \to a)\) тогда и только тогда, когда для любой последовательности Гейне имеем предел последовательности:

$$f(\xi_n) \to A$$при \(n \to \infty.\)

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.

Пределы на бесконечности[править]

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Определения, аналогичное «ε−δ»
  • Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть \(f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\) и \(\sup M = \infty.\) Число \(A\in \mathbb{R}\) называется пределом функции \(f\) при \(x\to +\infty\) (предел в плюс-бесконечности), если
    \(\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (T,\infty)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.\)
    Пишут:
    \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = A.\)
  • Аналогично пусть \(f:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\) и \(\inf M = \infty.\) Число \(A\in \mathbb{R}\) называется пределом функции \(f\) при \(x\to -\infty\) (предел в минус-бесконечности), если
    \(\forall \varepsilon > 0\; \exists T \in \mathbb{R}\; \forall x\in M\cap (-\infty,T)\quad |f(x)-A| < \varepsilon.\)

Пишут:

  • \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = A.\)

Окрестностное определение[править]

Расширенная числовая прямая \(\bar{\mathbb{R}} \equiv \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}\) становится топологическим пространством, если её снабдить естественной топологией, определив окрестности бесконечных точек следующим образом:

  • Окрестностью точки \(+\infty\) является любой интервал
    \((T,+\infty] \equiv (T,+\infty) \cup \{+\infty\};\)
  • Окрестностью точки \(-\infty\) является любой интервал
    \([-\infty,T) \equiv \{-\infty\}\cup (-\infty,T).\)

Пределы функции на бесконечностях тогда можно определить как обычные пределы на топологическом пространстве.

  • Число \(~A\) называется пределом функции \(~f\) при \(~x\) стремящемся к плюс-бесконечности, если для любой окрестности \(V(A)\) существует окрестность \(U(+\infty)\) такая, что

$$\forall x \in U(\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$$

  • Число \(~A\) называется пределом функции \(~f\) при \(~x\) стремящемся к минус бесконечности, если для любой окрестности \(~V(A)\) существует окрестность \(~U(-\infty)\) такая, что

$$\forall x \in U(-\infty) \cap M\quad f(x) \in V(A).$$


Замечания[править]

Если предел функции \(~f\) при \(x \to a\) существует и равен \(~A\), пишут $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A.$$ Существует определение одностороннего предела (левого или правого) в точке, аналогичное определениям пределов в \(+\infty\) и \(-\infty\).

Свойства пределов числовых функций[править]

Пусть даны функции \(f,g:M\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\) и \(a \in M'.\) Тогда

  • Предел \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) единственнен, то есть
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_1 \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2);\)
  • Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более общо,
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge ( A > B ) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > B\right),\)
где \(\dot{U}_{\epsilon}(a)\) — проколотая окрестность точки \(a\).
  • В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A >0\right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad f(x) > 0\right);\)
  • Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \Rightarrow \left( \exists \epsilon >0\; \exists K>0\; \forall x \in \dot{U}_{\epsilon}(a) \cap M \quad |f(x)| \le K \right);\)
  • Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
    \(\left(\exists \epsilon>0\; \forall x\in \dot{U}_{\epsilon}(a)\quad f(x) \le g(x) \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow (A \le B);\)
  • Предел суммы равен сумме пределов:
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);\)
  • Предел разности равен разности пределов:
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);\)
  • Предел произведения равен произведению пределов:
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);\)
  • Предел частного равен частному пределов.
    \(\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).\)

См. также[править]

Ссылки[править]