Пропорция (математика)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «Пропорция»)
Перейти к: навигация, поиск
Рис.1, Пропорция отрезков, например,AB:АС = AG:AE

Пропо́рция (математика) (лат. proportio — соразмерность, выровненность частей), равенство отношений числовых величин, т. е. равенство вида a : b = c : d (AB:AC=AD:AE) или, в других обозначениях, равенство \(\ \frac ab=\frac cd\) (часто читается как: «a относится к b так же, как c относится к d»). Если a : b = c : d, то a и d называют крайними, а b и cсредними членами пропорции. [1]

Где:

  • AB = a — отрезок (крайний)
  • AC = b — (средний)
  • AD = c — (средний)
  • AE = d — (крайний)

Пропорция (математика) в отличие от золотого сечения содержит разные значения средних членов (вместо b·b имеем b·c или b·c = a·d).

Основные свойства пропорций[править]

  • Обращение пропорции. Если возьмём соотношения в виде: a : b = c : d, то b : a = d : c
  • Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d, то ad = bc.
  • Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то
a : c = b : d    (перестановка средних членов пропорции),
d : b = c : a    (перестановка крайних членов пропорции).
  • Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d, то
(a + b) : b = (c + d) : d    (увеличение пропорции),
(ab) : b = (cd) : d    (уменьшение пропорции).
  • Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d, то
(a + с) : (b + d) = a : b = c : d    (составление пропорции сложением),
(aс) : (bd) = a : b = c : d    (составление пропорции вычитанием).

Золотое сечение[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Золотое сечение
Файл:Zolotoe setshenie.jpg
(Рис.2) Cхема пропорциональных отрезков золотого сечения

Золотое сечение (золотая пропорция, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) — соотношение числовых величин в математике и искусстве: отношение суммы двух величин к большей из них равно отношению большей величины к меньшей

Отношение частей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью $$\varphi = \frac{ \sqrt{5}+1}{2} \approx 1{,}6180339887\dots$$

Т. е. (см.Рис.2) равенство вида (a + b):a = a : b, или, в других обозначениях, равенство \(\! \frac {a + b}{a}=\frac {a}{b}=\phi\) (часто читается как: «(a + b) относится к a так же, как a относится к b»). Если (a + b):a = a : b, то (a + b) и b называют крайними, а aсредними членами пропорции.[2]

Золотое сечение в отличие от пропорции содержит произведение определённых значений средних членов (вместо c·d имеем a·a или a·c = a·a). Не любое деление отрезка даёт среднее сечение. Например, деление отрезка на части, выраженных рациональными числами или на равные части, не даёт золотого сечения.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (goldener Schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение и иррациональность[править]

Золотое сечение в пятиконечной звезде

$$\varphi^2 = \varphi + 1.$$

  • \(\varphi\) представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

$$\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}.$$

$$\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\,\cdots}}},$$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи \(\frac{F_{n+1}}{F_n}\). Таким образом, \(\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}\).
Построение золотого сечения
  • В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношение красного отрезка к зелёному, так же как зелёного к синему, так же как синего к фиолетовому, равны \(\varphi\)).
  • Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка \(AB\) можно построить следующим образом: в точке \(B\) восстанавливают перпендикуляр к \(AB\), откладывают на нём отрезок \(BC\), равный половине \(AB\), на отрезке \(AC\) откладывают отрезок \(AD\), равный \(AC-CB\), и наконец, на отрезке \(AB\) откладывают отрезок \(AE\), равный \(AD\). Тогда

$$\varphi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|EB|}.$$

Золотое сечение  — пропорция и гармония в искусстве[править]

Длительное время существовало общепринятое суждение, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Например, пропорции золотого сечения находят в пирамиде Хеопса, в соотношении размеров некоторых храмов, барельефов; предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона. По мнению первых исследователей, это свидетельствует, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. Древнеегипетский зодчий Хесира, вырезанный на деревянной доске, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого сечения. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

К тем же выводам пришёл Розенов в статье «Закон золотого сечения в поэзии и музыке» (1925) на примере произведений Баха, Моцарта, Бетховена.

Критика[править]

Ко подобным утверждениям следует относиться с должной критичностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения (эффект «числовой мистики»). Есть обоснованные данные, что значимость золотого сечения в искусстве, архитектуре и в природе преувеличена, и основывается на ошибочных расчётах. [3]

При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2 : 3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 3:4 или 9:16) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми».


Литература[править]

  • ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — пер. с голл. И. Н. Веселовского — М.: ГИФМЛ, 1959

См. также[править]

Ссылки[править]