Равновесие Нэша

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

В теории игр равновесием Нэша (названным в честь Джона Форбса Нэша, который предложил его) называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.

Концепция равновесия Нэша (РН) впервые использована не Нэшем; Антуан Огюст Курно показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Соответственно, некоторые авторы называют его равновесием Нэша-Курно. Однако Нэш первым показал в своей диссертации Некооперативные игры (1950), что равновесия Нэша должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Формальное определение[править]

Допустим, \( \ (S, f)\) — игра n лиц в нормальной форме, где \( \ S \)— набор чистых стратегий, а \( \ f \)— набор выигрышей. Когда каждый игрок \(i \in \{1, ..., n\}\) выбирает стратегию \(x_i \in S\) в профиле стратегий \( \ x = (x_1, ..., x_n)\), игрок \( \ i\) получает выигрыш \( \ f_i(x)\). Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком \( \ i\), но и от чужих стратегий. Профиль стратегий \(x^* \in S\) является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого \( \ i\) $$f_i(x^*) \geq f_i(x_i, x^*_{-i})$$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

См. также[править]