Соглашение Эйнштейна

Соглашение Эйнштейна или правило суммирования Эйнштейна — применяемый обычно в тензорном исчислении способ сокращения записи свёртки тензора, т.е. сумм, включащих одночлены с верхними и нижними индексами, заключающийся в том, что знаки суммы опускаются, если суммирование производится по индексам, встречающимся в одночлене и вверху, и внизу, называемым немыми индексами.

Например: $$v_k = a_i b^i_k$$ надо понимать, как: $$v_k = \sum_i { a_i b^i_k } \,.$$

Прочие индексы, называемые свободными, должны встречаться во всём выражении, включая обе части равенства, только в одном положении.

Верхний индекс в знаменателе при этом считается нижним, а нижний — верхним, то есть, $$\pdv{ f }{ x_i } \dd{ x_i }$$ надо понимать, как: $$\sum_i { \pdv{ f }{ x_i } \dd{ x_i } } \,.$$

Когда метрический тензор записывается только с нижними индексами: $\delta_{ ik }$, подразумевается суммирование по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении, независимо от положения: $$D_{ \alpha \beta } n_{ \alpha }$$ в этом случае понимается, как: $$\sum_{ \alpha } { D_{ \alpha \beta } n_{ \alpha } } \,.$$