Теория массового обслуживания

Математическая теория массового обслуживания —– область прикладной математики, использующая методы теории вероятностей и математической статистики.

История

Первые задачи ТМО (Теории Массового Обслуживания) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефоннной компании, ученым Эрлангом (1878—1929) в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.

Имеется телефонный узел (обслуживающий прибор), на котором телефонистки время от времени соединяют отдельные номера телефонов друг с другом. Системы массового обслуживания (СМО) могут быть двух видов: с ожиданием и без ожидания (то есть с потерями). В первом случае вызов (требование, заявка), пришедший на станцию в момент, когда занята нужная линия, остается ждать момента соединения. Во втором случае он «покидает систему» и не требует забот СМО.

Однородный поток

Поток заявок однороден, если:

• все заявки равноправны,
• рассматриваются только моменты времени поступления заявок, т.е. факты заявок без уточнения деталей каждой конкретной заявки.

Поток без последствий

Поток без последствий, если число событий любого интервала времени ($t$, $t+x$) не зависит от числа событий на любом другом непересекающемся с нашим ($t$, $t+x$) интервале времени.

Стационарный поток

Поток заявок стационарен, если вероятность появления n событий на интервале времени ($t$, $t+x$) не зависит от времени $t$.

Простейший поток

Однородный стационарный поток без последствий является простейшим, пуассоновским потоком.

Число $n$ событий такого потока, выпадающих на интервал $x$, распределено по Закону Пуассона: $$P(n,x) = \frac{(\lambda x)^n e^{-\lambda x}}{n!}$$

Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря простейшие потоки редки на практике, однако многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.

Мгновенная плотность

Мгновенная плотность (интенсивность) потока равна пределу отношения среднего числа событий, приходящихся на элементарный интервал времени ($t$, $t+x$) к длине интервала ($x$), когда последний стремится к нулю. $$\lambda (t) = \lim_{x\to 0}\left(\frac{M(t+x)-M(t)}{x}\right)$$

или, для простейшего потока, $$\lambda = \frac{M(x)}{x}$$

где $M(x)$ равно матожиданию числа событий на интервале $x$.

Формула Литтла

$$~N^{*} = \lambda T$$

Среднее число требований в системе равно произведению интенсивности входного потока на среднее время пребывания заявки в системе.

Пиковая нагрузка

Описание проблемы подсчёта пиковой нагрузки:

Эмпирическим путем пиковую нагрузку получают из номинальной при помощи умножения на 10. Это работает, но не всегда. Пришлось привести пример о встрече наблюдателя с ротой солдат идущей в баню. С точки зрения гипотезы о равномерном распределения потока мужчин и женщин на улице, вероятность данного события равна 0. Не проняло, искусственная, говорят ситуация. Ладно, говорю, рассмотрим другую, более реалистичную ситуацию, сдача годового, квартального и месячного отчета к 16-30 пятницы. Что будет с нагрузкой на сервер в период между 16-23 и 16-28 ??? Кошмар там будет феерический. Потому, как будет одновременно выполнятся размещение на сервере документов всеми пользователями. И если в этот момент произойдет падение системы, администратора системы порвут на много-много маленьких аникейщиков. Надо было видеть лица слушателей, их проняло, они быстренько сообразили в данном случае пиковая нагрузка будет отличаться от средней примерно в 10 000 раз (для конторы из 100 человек). Задача снижения неравномерности нагрузки на сегодня становится жизненно необходимой, это ведь не только информационная среда, это и транспорт и энергетика и водопровод с канализацией. Рассмотрим, к примеру, автомобиль. Средняя мощность, задействованная при равномерном прямолинейном движении с разрешенной скоростью будет около 30 л.с., пиковая - 100 л.с. (Класс С, ширпотреб). То есть, запас в 3 раза. А если запас пиковой мощности в 10 раз, то цена авто сразу возрастает на порядок. То есть, всякого рода избыточная пиковая мощность на самом деле обходится чрезвычайно дорого.

Литература

1. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания: учебное пособие для вузов.
   
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания.
   
3. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания.
   
4. Лифшиц А. Л., Мальц Э. А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания.
   
5. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Глава 10. Теория массового обслуживания. М., 1969, 368 стр. с илл.
   

См. также

• Система массового обслуживания
• Исследование операций