Тонкая структура

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Введение[править]

В атомной физике тонкая структура описывает расщепление спектральных линий атомов.

Макроскопическая структура спектральных линий - это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за связи спин-орбита.

Релятивистские поправки[править]

В классической теории кинетический член гамильтониана:

\(T=\frac{p^{2}}{2m}\)

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии,

\(T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}\)

где первый член - это общая релятивистская энергия, а второй член - это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

\(T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots\)

Тогда поправка первого порядка к гамильтониану равна

\(H'=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}\)

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

\(E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle\)

где \(\psi^{0}\) - невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

\(H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle \)

\(\left(\frac{p^{2}}{2m}+U\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle \)

\(p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-U)\vert\psi^{0}\rangle\)

Далее мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

\(E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle\)

\(E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert\psi^{0}\rangle \)

\(E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )\)

Для атома водорода, \(U=\frac{e^{2}}{r}\), \(\langle U\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}\) и \(\langle U^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\) где a0 - боровский радиус, n - главное квантовое число и l - орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

\(E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)\)

Связь спин-орбита[править]

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, \(\vec B\) и \(\vec\mu_s\) сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида

\( \Delta E_{SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S\)

Страница: 0

en Fine structure

Примечания[править]

См. также[править]

Ссылки[править]

Литература[править]

  • Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN 0-13-805326-X>
  • Introductory Quantum Mechanics. — Addison-Wesley, 2002. — ISBN 0-8053-8714-5>

Для статьи[править]