Уравнение Лапласа

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается: $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора $$\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...$$

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как \(\triangle u = 0\)

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями. Неоднородное уравнение Лапласа называется уравнением Пуассона.

  • Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах").

Другие формы уравнения Лапласа[править]

В сферических координатах \(\ (r,\theta,\varphi)\) уравнение имеет вид $${1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0$$

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0$$

См. также оператор набла в различных системах координат.

Применение уравнения Лапласа[править]

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики.

Решения уравнения Лапласа[править]

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение[править]

Одномерное пространство[править]

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию: $$f(x) = C_1 x + C_2 $$

где \(C_1, C_2\) — произвольные постоянные.

Двумерное пространство[править]

Общее решение уравнения Лапласа на двумерном пространстве называется аналитической функцией. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и решение уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде $$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.\,$$

Аналитические функции[править]

Если z = x + iy, и $$f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\,$$

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической: $$u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\,$$

И действительная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем $$u_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,$$

А это ни что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Трёхмерное пространство[править]

Функция Грина[править]

Задача Дирихле[править]

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области, и известны её значения на границе.

Задача Неймана[править]

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Ссылки[править]

  • Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X>
  • Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.