Финитизм

Финитизм (лат. finitus — определенный, законченный) — методологическая установка в математике на сильные требования к осмысленности и к надёжности математических суждений и рассуждений, не принимающая к рассмотрению существование бесконечных объектов, таких как бесконечные множества, замусоренные включённые в математику Кантором. Финитизм обычно ассоциируется с примитивно-рекурсивной арифметикой Торальфа Сколема.

В соответствии с этой установкой надёжные рассуждения должны удовлетворять следующим условиям (Ж.Эрбран):

1. всегда рассматривается лишь конечное и определённое число конкретно воспринимаемых предметов и функций;
2. функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений;
3. никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта;
4. никогда не рассматривается (как вполне определённое) множество всех предметов x какой-либо бесконечной совокупности; если же говорится, что какое-то рассуждение (или суждение) верно для всех этих х, то это означает, что общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного х, причём само это общее рассуждение следует при этом рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений.

Ограничения 1) и 4) мотивируют как само название «финитизм», так и соответствующее употребление эпитетов «финитный» (или «финитарный») для рассуждений, суждений, доказательств, высказываний, определений, понятий, методов и т. д. Финитная математика — это совокупность финитных математических рассуждений.

Осмысленные суждения, согласно рассматриваемой установке, это те и только те суждения, которые могут быть доказаны или опровергнуты финитными рассуждениями. Осмысленные математические суждения называются «реальными» суждениями (предложениями, высказываниями), остальные — «идеальными».