Штрихкод треугольника

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Штрихкод треуго́льника́ - три параллельные прямые, местоположение которых однозначно зависит от формы треугольника.

Для любого треугольника можно построить по определенным правилам одну и только одну серию трех параллельных прямых, названных штрихкодом треугольника см. рисунок . Если принять стандартные обозначения рассматриваемой фигуры (см. Рисунок), вершину \(A \,\) совместить с началом координат, а сторона \( c \,\) при этом будет совпадать с осью абсцисс, то уравнения этих прямых окажутся следующими:

\(y_1 = k\, x - k \, b \,\);

\(y_2 = k\, x - k \,( c - a )\,\);

\(y_3 = k\, x - \frac{c}{b}\,(k \,x_C\,-\,y_C\,) \,\).

Здесь \( k \, \) - тангенс угла наклона всех трех прямых к оси абсцисс:

\( \, k\,=\,\frac{y_C \,(a\,-\,b)}{(x_C\,-\,b)\,a\,+\,(c\,-\,x_C)\,b}\)

Стороны треугольника:

\(a\,=\,\sqrt{(c\,-\,x_C)^2\,+\,y_C^2} \,\,;\,\,b\,=\,\sqrt{x_C^2\,+\,y_C^2}\)

В формулах \( x_C\,,\,y_C\,- \) координаты вершины \(\, C \).

Метод построения штрихкода треугольника с помощью циркуля и линейки разработал математик Г. Александров.

При помощи классической геометрии была получена эквивалентная формула для коэффициента \( k \,\) :

\( k\,=\, \frac{4 S}{2bc \frac{c-a}{a-b}+b^2+c^2-a^2} \,\)

где \( S \,\) - площадь треугольника, вычисляемая по формуле Герона.

Коэффициент \( k \, \) терпит разрыв при

\(a=\frac 13\left[V+\frac{4b^2+3c^2-6bc}V+b\right]\),

где

\(V=\sqrt[3]{18c^2b-9b^2c-8b^3+3\sqrt{48b^5c+36b^3c^3+18c^5b-87b^4c^2-12b^2c^4-3c^6}}\)

Необходимо также учитывать ограничения на отрезки сторон треугльника:

\( a \, \ge \, |c-b| \,\,; \,\, a \, \le \, c+b \)

Ссылки[править]