0=1

В математике известно много методов доказательства утверждения о равенстве чисел 0 и 1.

Метод степеней единицы

Как известно, $1^a=1$, таким образом, $1^1=1^0=1$. Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод умножения

Справедливо равенство $0\cdot0=0\cdot1$. Поделим это выражение на $0$. Получим: $\frac{0}{0}\cdot0=\frac{0}{0}\cdot1$, отсюда выходит, что $0=1$.

Упрощённый метод умножения

Дано: $0\cdot0=0\cdot1$. Так как $0=0$, то $0=1$.

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако $0!=1$ и $1!=1$, то есть $0!=1!$. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что $0=1$.

Метод вынесения множителей

Справедливо равенство $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}$. Вынесем общий множитель: $2\frac{1}{1}=3\frac{1}{1}$. Сократим: $2=3$. Вычтем 2 и получим искомое равенство.

Метод деления

Допустим, что есть некое равенство $a-b=0$. А теперь поделим каждую сторону на $a-b$. Получим: $\frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b}$, или $1=0$.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, $log_{a}a=1$ и $log_{a}1=0$. Подставим $a=1$. Получим: из первой формулы $log_{1}1=1$, но из второй формулы $log_{1}1=0$. Это значит, что $0=1$, что требовалось доказать.

Алгебраический метод

Рассмотрим равенство $a=b+c$. Умножим обе его части на $a-b$. Получим: $a^2-ab=ab+ac-b^2-bc$, то есть $a^2-ab-ac=ab-b^2-bc$. Разложим на множители, получим $a(a-b-c)=b(a-b-c)$, сокращаем, получаем $a=b$. То есть, подставив $a=1$, $b=0$, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Геометрический метод 1

Файл:Треугольник1.png

Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 60 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 58 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что $58=60$. Отнимем от обеих частей равенства 58 и разделим на 2, получим $\frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2}$, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод мнимых единиц

Докажем сначала, что $1=-1$. Понятно, что $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$. Представим в левой части равенства $-1=\frac{-1}{1}$, а в правой $-1=\frac{1}{-1}$. Получим $\sqrt {\frac{-1}{1}}=\sqrt {\frac{1}{-1}}$. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$. По свойству пропорции: $\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{1}\cdot\sqrt{1}$. Следовательно, $-1=1$. Прибавив к обеим частям равенства 1 и разделив их на 2, получим требуемое равенство $0=1$.

Метод бесконечных рядов

Докажем, что $1=-1$, только иначе. Доказав это утверждение, мы сможем доказать и то, что $1=0$, для этого достаточно будет прибавить единицу и разделить обе части равенства на два.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда $S=1+1-1+1-1+1-1...$. Представим её в виде $S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1$. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем $S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1$, то есть $S=1=-1$, значит $1=-1$, откуда, как доказано выше, вытекает, что $1=0$.

Ещё один метод мнимых единиц

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$. Значит, $\sqrt {\frac{-1}{1}} = \sqrt {\frac{1}{-1}}$. Значит, $\frac{\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}=\frac{\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}$. Так как $\sqrt {-1}=i$, запишем равенство следующим образом: $\frac{i}{1}=\frac{1}{i}$. Разделим обе части на 2, получим $\frac{i}{2}=\frac{1}{2i}$. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение $\frac{3}{2i}$, получим $\frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}$. Теперь умножим обе части на $i$, получим $i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i})$, раскроем скобки: $\frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i}$. Так как $i^2=-1$, получаем $\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$. Посчитав, получим, что $1=2$, а отняв $1$, найдем требуемое равенство: $0=1$.