0=1

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

В математике известно много методов доказательства утверждения о равенстве чисел 0 и 1.

Метод степеней единицы[править]

Как известно, \(1^a=1\), таким образом, \(1^1=1^0=1\). Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть \(0=1\), что и требовалось доказать.

Метод умножения[править]

Справедливо равенство \(0\cdot0=0\cdot1\). Поделим это выражение на \(0\). Получим: \(\frac{0}{0}\cdot0=\frac{0}{0}\cdot1\), отсюда выходит, что \(0=1\).

Упрощённый метод умножения[править]

Дано: \(0\cdot0=0\cdot1\). Так как \(0=0\), то \(0=1\).

Факториальный метод[править]

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако \(0!=1\) и \(1!=1\), то есть \(0!=1!\). Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что \(0=1\).

Метод вынесения множителей[править]

Справедливо равенство \(\frac{2}{2}=\frac{3}{3}\). Вынесем общий множитель: \(2\frac{1}{1}=3\frac{1}{1}\). Сократим: \(2=3\). Вычтем 2 и получим искомое равенство.

Метод деления[править]

Допустим, что есть некое равенство \(a-b=0\). А теперь поделим каждую сторону на \(a-b\). Получим: \(\frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b}\), или \(1=0\).

Метод логарифмирования[править]

Согласно формулам, \(log_{a}a=1\) и \(log_{a}1=0\). Подставим \(a=1\). Получим: из первой формулы \(log_{1}1=1\), но из второй формулы \(log_{1}1=0\). Это значит, что \(0=1\), что требовалось доказать.

Алгебраический метод[править]

Рассмотрим равенство \(a=b+c\). Умножим обе его части на \(a-b\). Получим: \(a^2-ab=ab+ac-b^2-bc\), то есть \(a^2-ab-ac=ab-b^2-bc\). Разложим на множители, получим \(a(a-b-c)=b(a-b-c)\), сокращаем, получаем \(a=b\). То есть, подставив \(a=1\), \(b=0\), получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Геометрический метод 1[править]

Файл:Треугольник1.png
Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна 60 клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна 58 клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что \(58=60\). Отнимем от обеих частей равенства 58 и разделим на 2, получим \(\frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2}\), то есть \(0=1\), что и требовалось доказать.

Метод мнимых единиц[править]

Докажем сначала, что \(1=-1\). Понятно, что \(\sqrt{-1}=\sqrt{-1}\). Представим в левой части равенства \(-1=\frac{-1}{1}\), а в правой \(-1=\frac{1}{-1}\). Получим \(\sqrt {\frac{-1}{1}}=\sqrt {\frac{1}{-1}}\). Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому \(\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}\). По свойству пропорции: \(\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{1}\cdot\sqrt{1}\). Следовательно, \(-1=1\). Прибавив к обеим частям равенства 1 и разделив их на 2, получим требуемое равенство \(0=1\).

Метод бесконечных рядов[править]

Докажем, что \(1=-1\), только иначе. Доказав это утверждение, мы сможем доказать и то, что \(1=0\), для этого достаточно будет прибавить единицу и разделить обе части равенства на два.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда \(S=1+1-1+1-1+1-1...\). Представим её в виде \(S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1\). Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем \(S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1\), то есть \(S=1=-1\), значит \(1=-1\), откуда, как доказано выше, вытекает, что \(1=0\).

Ещё один метод мнимых единиц[править]

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что \(\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}\). Значит, \(\sqrt {\frac{-1}{1}} = \sqrt {\frac{1}{-1}}\). Значит, \(\frac{\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}=\frac{\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}\). Так как \(\sqrt {-1}=i\), запишем равенство следующим образом: \(\frac{i}{1}=\frac{1}{i}\). Разделим обе части на 2, получим \(\frac{i}{2}=\frac{1}{2i}\). Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение \(\frac{3}{2i}\), получим \(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}\). Теперь умножим обе части на \(i\), получим \(i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i})\), раскроем скобки: \(\frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i}\). Так как \(i^2=-1\), получаем \(\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\). Посчитав, получим, что \(1=2\), а отняв \(1\), найдем требуемое равенство: \(0=1\).