G2 (математика)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

В математике G2 — название нескольких групп Ли и связанной с ними алгебры Ли \(\mathfrak{g}_2\). Это наименьшая из пяти исключительных простых глрупп Ли. G2 имеет ранг 2 и размерность 14. Её фундаментальное представление 7-мерно.

Компактная форма G2 является группой автоморфизмов алгебры октанионов (октав), а также представляет собой подгруппу \(SO(7)\), которая оставляет инвариантным 8-мерное действительное спинорное представление любого вектора.

Реализации[править]

Существует 3 простые действительные алгебры Ли, ассоционированные с данной корневой системой:

  • Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G2 сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G2.
  • Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра и является односвязной и компактной.
  • Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебра[править]

Диаграмма Дынкина[править]

Диаграмма дынкина G_2

Корневая система G2[править]

Несмотря то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, намного более красива и симметрична их форма в 2-мерном подпространстве трёхмерного пространства:

(1,−1,0),(−1,1,0)
(1,0,−1),(−1,0,1),
(0,1,−1),(0,−1,1),
(2,−1,−1),(−2,1,1),
(1,−2,1),(−1,2,−1),
(1,1,−2),(−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля/Коксетера[править]

Для алгебры G2 это — группа диэдра, D12 12 порядка.

Матрица Картана[править]

$$ \begin{pmatrix} 2&-3\\ -1&2 \end{pmatrix} $$

Специальные голономии[править]

G2 — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики. Многообразия голономии G2 называются G2-многообразиями.

Ссылки[править]