Текст:Искорка:Синус против косинуса

Вкратце: косинус. И этим сказано всё.

ПЕРИСС

Данная статья представляет собой чисто авторские рассуждения, и данное мнение не является общеизвестным в каком-либо сообществе (в том числе математическом). Также все эти рассуждения делаются почти или вообще сугубо без источников, не говоря уже об авторитетных источников, каковые требовала бы Википедия, будь мы сейчас в ней. По совокупности данных причин эта статья расположена под префиксом «Искорка:». В то же время в данной статье от и до обещается изложение аргументов и обещается исключительно объективность.

Что лучше — синус или косинус, интересует людей не особо часто, но всё-таки в тёмной гуще этих ваших интернетов споры на эту тему встречаются. Правда, встречаются некоторые довольно редкие комментаторы, которые считают этот спор бессмысленным. В самом деле, как одна тригонометрическая функция может быть лучше другой, если у них исторически совершенно общее предназначение — связывать углы и пропорции сторон? Не говоря уже о том, что косинус — это просто параллельно сдвинутый синус, равно как и наоборот. Но вот у автора есть другое мнение — что более естественным и первичным является именно косинус, а не синус.

Аргументы 1—3

Самый главный — вот просто главнейший аргумент, подтверждающий большую естественность именно косинуса, а не синуса, связан уже с самим определением этих функций. Точнее, этих аргументов даже 3. Поначалу, возможно, непонятно, о чём речь, ведь синус и косинус получаются друг из друга тупо сдвигом в τ/4 радиан. Не так ли? Но обо всём по порядку.

Ориентированный угол

Традиционно в математике и физике за положительное вращение берётся против часовой. Однако это лишь соглашение, и то имеющее смысл только в пределах 2D, поскольку любую 2D-систему координат, где проведены какие-то математические рассуждения с опорой на ориентацию угла в этой системе, в нашем реальном мире можно просто взять и развернуть на 180°. И что, после этого рассуждения тут же разрушатся? Поэтому нужно по-настоящему строгое определение ориентированного угла. Которое было бы привязано к абсолютным углам. И это определение есть — оно состоит в том, что, во-первых, ориент. угол ∠(a, b) от вектора a к вектору b должен обладать двумя свойствами:

1. |∠(a, b)| = ∠|a, b|, где ∠|a, b| — абсолютный угол;
2. ∠(a, b) + ∠(b, c) = ∠(a, c),

где второе свойство — это именно часть определения, дабы оно было реально строгим, ибо для абсолютных углов не обязано работать; а во-вторых, остаётся ввести полярную ось Ox, а также ось Oy, дабы угол ∠(Ox, Oy) определить как +τ/4 и относительно него откалибровать другие ориент. углы. Тогда ∠(Ox, r) — это такое число φ, что

|φ| = ∠|Ox, r|

и при этом

|–τ/4 + φ| = ∠|Oy, r|.

То есть, по сути, роль полярной оси заключается в отсчёте углов, а роль оси ординат — в порождении ориентации углов.

Определение косинуса

Углы 0 — τ/4. В пределе этого диапазона косинусом угла φ между катетом x и гипотенузой r называется x/r. Любопытно, что это определение вообще не зависит от длины гипотенузы, если угол фиксирован. Что связано со свойствами подобных треугольников. Поэтому косинус можно считать свойством именно самого угла, что он и задаёт нам такие пропорции.

Углы 0 — τ/2. Так как в прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой не может быть выше τ/4, то введём полярную ось Ox, от которой будет отсчёт углов, и вектор r (не обязательно исходящий из координатной оси). Важно, что это именно направленные объекты, чтобы угол φ между ними мог полностью занимать диапазон значений 0 — τ/2, а не ограничиваться 0 — τ/4. Тогда заметим вот что: если φ ≤ τ/2, то косинус, как мы уже знаем, — это |r_x|/r. При этом векторная проекция r_x вектора r сонаправлена Ox. Но ведь при φ ≥ τ/2 вектор r_x берёт и разворачивается в противоположную сторону. Отсюда на диапазоне 0 — τ/2 возникает интерес расширить определение косинуса до r_x/r.

Углы 0—τ. Далее, когда мы обобщаем косинус с диапазона 0—π до 0—τ, то важно разобраться, есть ли вообще разница, будем ли мы считать угол ∠|Ox, r| из «выпуклого» диапазона углов 0—π или из «вогнутого» π—τ. И, оказывается, нет! Потому, что проецирование происходит на знакомую нам ось Ox. В итоге косинусом угла φ между полярной осью Ox и r опять называется r_x/r.

Любой неотрицательный угол. При таком обобщении принципиально у косинуса снова ничего не меняется. Вводиться лишь кратность абсолютного угла, то есть его способность «наслаиваться» на самого себя. Заметим, что нам до сих пор не нужны никакие сторонние оси.

Любой вещественный угол. Далее, при обобщении косинуса на любой вещественный угол, строго говоря, уже нужна ордината. Но только для того, чтобы задать знак вращения. Ибо в самом определении косинуса ордината всё равно не участвует: cos φ = r_x/r. Из этого получается важный вывод, что, если нам захочется раскрыть строгое определение ориент. угла φ прям внутри косинуса, то получится cos φ = cos |φ| = cos ∠|Ox, r|. Следствием чего является свойство чётности.

Определение синуса

Углы 0 — τ/4

В пределе этого диапазона синусом угла φ напротив катета y называется y/r, где r — гипотенуза. Данное определение тоже не зависит от r, если угол фиксирован. Что, опять же, связано со свойствами подобных треугольников. Поэтому синус тоже можно считать свойством самого угла.

Углы 0 — τ/2

Введём систему Oxy и введём вектор r (не обязательно исходящий из координатной оси) под абсолютным углом φ с положительным направлением полярки Ox. Тогда заметим, что на данном диапазоне углов реекция r_⊥x вектора r на Ox ни при каком значении не разворачивается в противоположную сторону. И по этой причине (в сочетании с тем, что на промежутке 0 — τ/4 синус мы определили неотрицательным числом) на 0 — τ/2 синус удобно определить как неотрицательное число |r_y|/r. Но — в чём смысл модуля? А дело в том, что, говоря об абсолютном угле φ между r и Ox, мы не давали зуб на то, что ориент. угол от Ox к r — это тоже +φ.

Хорошо, мы можем договориться, что под +φ мы как раз будем понимать ∠(Ox, r) — и тогда синус равен r_y/r. Это замечательное определение ^_^, хотя существуют и альтернативные способы, если не хочется вместе с ориент. углом ещё и привлекать строгое определение ориент. угла.

Например, вместо оси Oy можно взять тупо «голую» прямую Oy — и тогда синусом мы будем называть r_y/r, где r_y — длина (неориентированная) вектора r_y.

Либо вообще к чёрту выкинуть ординату и переписать определение через полярку как sin φ = r_⊥x/r, где r_⊥x = |r_⊥x|.

Углы 0—τ

Далее, при обобщении до 0—τ важно разобраться, есть ли вообще разница, считать ли угол ∠|Ox, r| из «выпуклого» диапазона 0—π или из «вогнутого» π—τ. И вот тут уже да! Чтобы это понять, нужно ввести ориент. угол φ = ∠(Ox, r). Тогда мы видим, что при прохождении от 0 до τ реекция начинает разворачиваться в противоположную сторону. Тогда представляет интерес считать синус от φ как r_y/r, где модуль с |r_y| снимается. Но из-за этого кососимметричного разворота вектора r_y получается, что определение синуса на 0—τ не имеет никакой самостоятельности и вынуждено сводиться к определению на любой ориент. угол.

Любой ориент. угол

Для любого вещественного угла синус от φ = ∠(Ox, r) тоже определяется как r_y/r. И наконец, если мы захотим раскрыть ориентированный угол по его строгому определению прям внутри синуса, то получится… синус косинус! Вот смотрите: sin φ — это r_y ÷ r. Но ведь r_y ÷ r — это cos ∠|Oy, r|, или cos |φ – τ/4|.

Аргумент 1

После этой вводной части можно поконкретнее объяснить, в чём здесь вообще заключаются аргументы.

Синус фактически «ворует» определение у косинуса, перенимает вот эту вот идею с проецированием на ось. Но почему нельзя считать, что всё наоборот? Дело в том, что в определении косинуса угла φ вектор проецируется всегда на полярную ось Ox, от которой этот угол и отсчитывается. А вот в определении синуса угла φ требуется вводить какую-то там дополнительную ось Oy, перпендикулярную к полярной, от которой угол φ вообще-то и отсчитывается, и проецировать именно на дополнительной. Нет, это совершенно не говорит о как таковой бесполезности синуса и о его неприменимости на практике от слова совсем — данным аргументом автор хочет донести (да и в принципе способен доказать) только тот факт, что синус в своей сущности производен от косинуса, то есть косинус более первичен и оттого более естественен, чем синус, так же, как число тау естественнее, чем π. Вот дальнейшие аргументы уже «пожарче».

Аргумент 2

Представим, что мы ещё не знаем определения синуса и косинуса для любых ориент. углов, однако до этого момента уже обобщили их по максимуму, насколько возможно, следуя определениям выше. И задача состоит в том, чтобы это обобщение наконец завершить, то есть использовать определение ориент. угла. И лулз в том, что если раскрыть это определение прям внутри синуса и косинуса, то они оба превратятся в косинус:

sin φ = cos |–τ/4 + φ| = cos ∠|Oy, r|,

cos φ = cos |φ| = cos ∠|Ox, r|.

Да и вообще любую тригонометрическую функцию от ориент. угла можно раскрыть через косинус абс. угла: $$\cos\phi = \cos\widehat{Ox,\mathbf r}, \qquad \sin\phi = \cos\widehat{Oy,\mathbf r}, \qquad \tan\phi = \frac{\cos\widehat{Oy,\mathbf r}}{\cos\widehat{Ox,\mathbf r}}, \qquad \cot\phi = \frac{\cos\widehat{Ox,\mathbf r}}{\cos\widehat{Oy,\mathbf r}}, \qquad \sec\phi = \frac1{\cos\widehat{Ox,\mathbf r}}, \qquad \csc\phi = \frac1{\cos\widehat{Oy,\mathbf r}}$$ ну или через секанс: $$\cos\phi = \frac1{\sec\widehat{Ox,\mathbf r}}, \qquad \sin\phi = \frac1{\sec\widehat{Oy,\mathbf r}}, \qquad \tan\phi = \frac{\sec\widehat{Ox,\mathbf r}}{\sec\widehat{Oy,\mathbf r}}, \qquad \cot\phi = \frac{\sec\widehat{Oy,\mathbf r}}{\sec\widehat{Ox,\mathbf r}}, \qquad \sec\phi = \sec\widehat{Ox,\mathbf r}, \qquad \csc\phi = \sec\widehat{Oy,\mathbf r}.$$ А как точно таким же образом свести к синусу при условии, что, напомним, изначально его определение мы знаем не для любых ориент. углов? А к тангенсу, котангенсу, косекансу? Ну вы, наверное, уже догадались: ни-как! Вот серьёзно — это совершенно нереально, как там ни хитри, ни выделывайся! После познания этого факта ваш мир явно поделился на «до» и «после», вы прям чуете, как ваша картина мира просто переворачивается.

Однако некоторые из вас могут предположить, что автор вас просто обманывает — вот же есть контраргумент: $$\cos\phi = \sin\Big(\widehat{Ox,\mathbf r} + \frac\tau4\Big).$$ И, как говорится, «распишите, получитесь», потому что всё честно: под косинусом находится ориент. угол, и ему даётся определение через синус абс. угла, к которому всего лишь прибавили τ/4. Да только вот нет, не «всего лишь»! Дело в том, что, даже если мы будем считать угол ∠|Ox, r| только от 0 до π (а у́же некуда), аргумент синуса всё равно окажется за диапазоном 0—π, задевая третью координатную четверть. А значит, потребуется использовать определение синуса для любого ориентированного угла, что нарушает исходное обещание. Иначе говоря, вместо такого «контраргумента» можно было бы тупо привести равенство $$\cos\phi = \sin(\phi + \tau/4),$$ которое не имеет ценности как определение косинуса ориент. угла, — и ничего бы принципиально не изменилось.

Аргумент 3

Быть может, для того, чтобы синус всё-таки перестал тут быть каким-то «аутсайдером», можно просто назначить оси Oy роль полярки и отсчитывать от неё ориент. угол χ? И всё — честь синуса как числа r_y ÷ r восстановлена? Увы, нет: дело в том, что тогда синус от φ — это просто косинус от χ. Да, косинус неизбежен уже по своей сущности.

Аргумент 4

Дан в системе Oxy вектор r. Как из его проекций r_x, r_y и модуля r можно выразить ориент. угол φ от Ox к r? Через арккосинус решение этой задачи оказывается безумно стройным: $$\phi \equiv_\tau \frac{r_y}{|r_y|} \arccos\frac{r_x}r.$$ Здесь множитель r_y/|r_y| отвечает за ориентацию угла, а ≡_τ — это сравнение по модулю числа τ. Также очень изящно выходит через арк(ко)тангенс, особенно если формулировать через формулу половинного угла: $$\phi \equiv_\tau 2\arctan \frac{r_y}{r + r_x} \equiv_\tau 2\arctan \frac{r - r_x}{r_y} \equiv_\tau 2\arccot \frac{r_y}{r - r_x} \equiv_\tau 2\arccot \frac{r + r_x}{r_y}.$$ Через синус же получается что-то не особо оптимальное. Самая вменяемая формулировка, какую только удалось подобрать автору: $$\phi \equiv_\tau \frac\tau4 - \frac{r_x}{|r_x|}(\frac\tau4 - \arcsin\frac{r_y}r).$$ Где от слагаемых τ/4, одно из которых перед скобкой, а другое — внутри, избавиться вообще невозможно, а ведь они служат «толстым» маркером того, что синус — это вторичный косинус. Нет, можно, конечно, объявить полярной осью ось Oy и ввести ориент. угол χ от Oy к r, но ориентацию угла до сих пор не разворачивать. Тогда $$\chi \equiv_\tau -\frac{r_x}{|r_x|}(\frac\tau4 - \arcsin\frac{r_y}r).$$ Да только это не спасло от слагаемого τ/4, которое внутри скобки. Да и не получится: упрощение разности τ/4 – asin(r_y/r) с целью избавиться от слагаемого τ/4 приводит к получению арккосинуса (от r_y/r), но от слова никак не позволит сохранить арксинус. И у этой проблемы заметна некая параллель с аргументом 3. Нетрудно догадаться, что вся эта проблема с синусом, опять-таки, связана с самими определениями этих функций.

Аргумент 5

После того, как в этом разделе вы стали по-настоящему познавать определения тригонометрических функций, вы начинаете смотреть на решения простейших тригонометрических уравнений sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a более зрелым глазами: теперь вам очень сильно заметно, что решения косинуса, тангенса и котангенса выглядят очень естественно, а вот, глядя на решение синуса, хочется так и сказать, что формула корней синуса — это как кустарное приближение аналитической кривой дугами окружностей. Если что, напомним классическую формулировку корней данных уравнений: это $$t = (-1)^n\arcsin a + \frac\tau2n, \qquad t = \pm\arccos a + \tau n, \qquad t = \arctan a + \frac\tau2n, \qquad t = \arccot a + \frac\tau2n \qquad (n\in\mathbb Z)$$ соответственно. Так вот, в случае с формулой корней синуса, вообще говоря, прослеживается всё та же кустарность: на самом деле все эти решения можно перепейсать более по-человечески как $$t = \frac\tau4 \pm \Big(\frac\tau4 - \arcsin a\Big) + \tau n.$$ Даже это лучше и нагляднее, а оттого и естественнее. По такой формулировке видно, что слагаемое τ/4, которое перед скобкой, говорит о том, что корни данного уравнения образуют симметрию вокруг луча, наклонённого под углом +τ/4 + τn. Но всё же обе формы записи просто ярко выраженно палят вторичность синуса по отношению к косинусу.

Более того, если от слагаемого τ/4, которое внутри скобок и которое по сути перегружает выражение, взять и избавиться какими-то там равносильными преобразованиями, то арксинус по классике превратится в арккосинус: $$t = \frac\tau4 \pm \arccos a + \tau n.$$ И это совершенно не специальная подгонка для получения аргумента — это имеет тесную связь с четвёртым аргументом, что выражение τ/4 – asin(r_y/r) совершенно невозможно сократить до арксинуса какого-то там выражения, и со вторым аргументом, что при раскрытии определения ориент. угла синус превращается именно в косинус: $$\sin\phi = \cos\Big(\phi - \frac\tau4\Big) = \cos\Big|\phi - \frac\tau4\Big|.$$

Но даже если кому-то кажется, что тяжеловесность классической формулы корней синуса — это такая мелочь, с которой мы уже давно смирились, то проблемы не заставляют себя долго ждать, как только мы начинаем… подбирать корни на промежутке! Или, что ещё хуже, решать тригонометрические неравенства. Поэтому в таких задачах автор даст вам один совет: всегда без исключений переводите синус в косинус! Меньше геморра будет.