Аттрактор

Аттрактор англ. attract Компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности

Отношения с другими понятиями:

Теория:

Теория хаоса

Подмножество:

Аттрактор 

Аттра́ктор (англ. attract, «привлекать», «притягивать») — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.

Если траектория прошла достаточно близко к аттрактору, то со временем она уже не покинет окрестность аттрактора и даже будет подходить к нему всё ближе и ближе, то есть будет наблюдаться эффект притяжения к аттрактору, что, впрочем, справедливо не для всех определений аттракторов.

Примеры

Простейшим случаем аттрактора является точка. Аттракторами могут быть кривые, гладкие подмногобразия, а также произвольные сложные подмножества точек фазового пространства, в том числе фрактальные множества. В последнем случае аттракторы называются странными аттракторами, они активно изучаются в теории динамических систем.

Аттракторами часто называют режим движения (предельную траекторию в фазовом пространстве), к которому стремится со временем эволюция динамической системы. Например, вырожденным, но достаточно типичным случаем предельного режима движения является состояние покоя, когда аттрактор представляет собой точку в фазовом пространстве. Такой аттрактор есть, например, в системе грузика на пружине с трением о воздух.

Следующий яркий и простой пример аттрактора — это усилитель с обратной связью, который легко превращается в генератор электрических колебаний. Какое бы начальное состояние тока и заряда конденсатора ни было, в конечном счёте система перейдет в режим гармонических колебаний и будет генерировать переменное напряжение фиксированной частоты. Такой эффект обратной связи наблюдается, если микрофон поднести к акустической системе (колонке). Описанные случаи являются примерами динамических систем, в которых есть аттрактор — предельный цикл.

Два указанных типа аттракторов — точка покоя и предельный цикл — являются примерами регулярных аттракторов.

Регулярные аттракторы

Аттракторы бывают регулярными и нерегулярными.

Регулярными аттракторами принято считать:

• устойчивые (асимптотически устойчивые) особые точки
• устойчивые (орбитально асимптотически устойчивые) предельные циклы
• устойчивые инвариантные торы

Аттрактор-точка возникает в диссипативных динамических системах (грубо говоря, в системах, где присутствует трение). Точки фазового пространства, соответствующие нулевому значению скорости и локальному минимуму потенциальной энергии, являются устойчивыми точками притяжения траекторий.

Определение. В динамических системах возможна ситуация, когда малое отклонение от траектории-цикла приводит к траектории, которая со временем сколь угодно мало отклоняется от траектории-цикла. Такие циклы называются предельными циклами или асимптотически устойчивыми циклами.

Известно, что дифференциальные уравнения на плоскости могут иметь только регулярные аттракторы первых двух типов (особые точки и предельные циклы). Дифференциальные уравнения в многомерных фазовых пространствах (начиная с трёхмерных) могут иметь странные аттракторы, не являющимися объединением или пересечением гладких многообразий.

Странный аттрактор

Странный аттрактор — это аттрактор, не являющийся регулярным. Область фазового пространства,в которую с течением времени стягиваются траектории,начинающиеся в некоторой окрестности этой области. При этом странный аттрактор состоит из бесконечного числа неустойчивых циклов разных периодов и нечетного множества апериодических точек. Странный аттрактор существует за счет совместной работы двух "механизмов": растяжения и сжатия. Среди странных аттракторов часто встречаются хаотические аттракторы, в которых прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца.

Инвариантность аттракторов

Важным свойством аттрактора является его инвариантность отностительно оператора эволюции динамической системы. Это свойство заключается в том, что если динамическая система стартует с состояния, лежащего в аттракторе, то все её дальнейшие состояния также будут лежать в аттракторе.

См. также

• Динамическая система
• Фазовое пространство
• Аттрактор Лоренца
• Устойчивые и неустойчивые точки равновесия
• Математический маятник
• Многообразие
• Теория динамических систем

Ссылки

• Электронная библиотека по нелинейной динамике