Гипераналитическая функция

Гипераналити́ческая функция вещественной переменной — функция, убывание коэффициентов Фурье которой соответствует тетрации.

Введение

Гипераналитическая функция — тип функций между многочленами и аналитическими функциями.

Математические основы

Известно, что существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{k}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Отсюда следует возможность существования гипераналитических функций, для которых убывание коэффициентов Фурье соответствует тетрации.

Естественная гипераналитическая функция возникает при рассмотрении решётки с шагом L, в узлах которой расположены не определённые пока объекты. Распределение центров объектов можно описать с помощью решётчатой функции (РФ). Определение одномерной РФ основано на следующем тождестве

$$\begin{equation} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^{2}}dx=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}dx=1. \end{equation}$$ Отсюда РФ есть $$\begin{equation} \mathbb{R}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-nL}{\sigma})^{2}}. \end{equation}$$ Очевидно, что РФ не может быть разложена в ряд Фурье, так как она не интегрируется в элементарных функциях. В силу этого РФ не может быть разложена на чётную и нечётную функцию, в то время как произвольная аналитическая функция f может быть единственным образом представлена в виде суммы нечётной и чётной функций в интервале $[a,b]$: $$f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right),$$ где $$g\left(x\right)=\frac{f\left(x-a\right)-f\left(b-x\right)}{2},$$ $$h\left(x\right)=\frac{f\left(x-a\right)+f\left(b-x\right)}{2}.$$ Благодаря этому РФ может быть разложена в бесконечный ряд по двум примитивным гипераналитическим функциям путём последовательных попыток разложения на чётную и нечётную функцию. Таким образом, РФ может быть разложена в ряд самым простым способом, но в отличие от ортонормированного ряда Фурье полученный ряд таковым не является. Впрочем, мы увидим, что в этом и нет смысла.

Разложение РФ

Для наглядного подтверждения второго свойства гипераналитических функций приведём графики разностей, возникающих при последовательном вычитании членов разложения из $\mathbb{R}(x)$.

Рис. 2. Первая разность. $\;\;\;\;$ Рис. 3. Вторая разность — $\overline{\mathbb{V}}(2\times2\pi x).$ Рис. 4. Третья разность — $\mathbb{W}\left(1\times2\pi x\right).$

Рис. 5. Четвёртая разность — $\overline{\mathbb{V}}(4\times2\pi x).$ $\;\;\;$ Рис. 6. Пятая разность — $\mathbb{W}\left(3\times2\pi x\right).$

Таким образом, абсолютное значение пятой разности уменьшается на 77 порядков.

Истинное же значение гипераналитических функций состоит в том, что они являются производящими функциями для интенсивностей фундаментальных взаимодействий, выраженных через знаменитую квантовую константу — постоянную тонкой структуры (ПТС) — безразмерную величину, численное значение которой не зависит от выбранной системы единиц. В настоящий момент рекомендуется использовать следующее значение: $$\alpha=7{,}297\;352\;569\;3(15)\times 10^{-3}.$$ В системе единиц СИ она может быть также определена как: $$\begin{equation}\alpha=\frac{e^2}{\ 4 \pi \varepsilon_0 \hbar c}=\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h c}, \label{e0} \end{equation}$$

где $\ e$ — элементарный электрический заряд, $\hbar=h/2\pi$ — постоянная Дирака (или приведённая постоянная Планка) $\ c$ — скорость света в вакууме, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

ПТС была введена в 1916 году немецким физиком Арнольдом Зоммерфельдом (5 декабря 1868, Кёнигсберг — 26 апреля 1951, Мюнхен) в качестве меры релятивистских поправок при описании атомных спектральных линий в рамках модели атома Нильса Бора (7 октября 1885 — 18 ноября 1962) в 1913.

Впоследствии, в квантовой электродинамике постоянная тонкой структуры получила значение константы взаимодействия, характеризующей силу взаимодействия между электрическими зарядами и фотонами.

Введём следующие определения: $$\mathbb{R}\left(0\right)=\mathbb{R}_{max}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{-n}{\sigma}\right)^{2}},$$ $$\mathbb{R}\left(1/2\right)=\mathbb{R}_{min}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/2-n}{\sigma}\right)^{2}}.$$

Теперь введём параметр тонкой структуры $\alpha$ как функцию от $\sigma$: $$\begin{equation} \alpha\left(\sigma\right)=\frac{1}{2}\frac{\mathbb{R}_{max}-\mathbb{R}_{min}}{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}. \label{e4} \end{equation}$$

Выбор названия и обозначения этого параметра обусловлен тем, что $\alpha\left(0.4992619105929628\right)=\alpha.$

Оставшаяся в определении $\alpha$ двойка присутствует также и в формуле $\eqref {e4}$. Таким образом, никаких других математических констант в формуле $\eqref {e4}$ не может быть по определению.

Теперь аппроксимация $\mathbb{R}(x)$ будет иметь вид:

$$\begin{equation} A\left(x\right)=\frac{\mathbb{R}_{max}+\mathbb{R}_{min}}{2}(1+2\alpha cos\left(2\pi x\right)) +2\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{4^{i}}\left(cos\left(2i\times 2\pi x\right)-1\right) +\frac{2}{\mathbb{W}_{max}}\sum_{i=1}^{\infty}\alpha^{9{i}^2}\left(cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-cos\left((2i-1) \times 2\pi x\right)\right), \label{e5} \end{equation}$$ где $\mathbb{W}_{max}$ — нормировочный множитель (равный значению $\left(cos\left(3 \times (2i-1)\times 2\pi x\right)-cos\left((2i-1) \times 2\pi x\right)\right)$ в точке максимума). Коэффициент 2 при всех косинусах является следствием симметрии $\mathbb{R}(x)$ относительно x=0.

Трёхмерную РФ $\mathbb{R}\left(x,y,z\right)$ можно получить из её одномерного определения: $$\begin{equation} \mathbb{R}\left(x,y,z\right)=\mathbb{R}_{max}^{2}\mathbb{R}\left(x\right). \end{equation}$$ Таким образом, аппроксимация трёхмерной РФ также является рядом от постоянной тонкой структуры вдоль любой оси дискретного трёхмерного пространства, а сама ПТС является функцией безразмерного параметра $\sigma$, равного отношению «диаметра» некоторого физического объекта, расположенного в каждой ячейке, к шагу решётки L.

Появление постоянной тонкой структуры $\mathit{\alpha}$ в разложениях гипераналитической решётчатой функции обусловлено периодичностью пространства. Периодичность пространства описывается симметричной функцией от x.

Квантовая производная по времени

Для квантования времени прямое использование идеи решётки является слишком формальным. Поэтому целесообразно использовать определение производной по времени, но без перехода к пределу. Пусть $\mathbb{R}\left(t\right)$ есть РФ на единичном интервале $\left[-T/2, T/2\right]$ при $\tau=\sigma$ и $T=1$: $$\mathbb{R}\left(t\right)=\frac{1}{\tau\sqrt{2\pi}}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t+T/4-iT}{\tau}\right)^{2}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-T/4-iT}{\tau}\right)^{2}\right)\right].$$

Рис. 7. График $\mathbb{R}\left(t\right)$

Последовательно вычитая синусы, можно показать, что аппроксимация $\mathbb{R}\left(t\right)$ имеет следующий вид: $$A\left(t\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}a_{k}sin\left(2\pi\left(2k+1\right)t\right).$$ Для определения значений коэффициентов $a_{k}$ используем k+1 уравнений с различными значениями l: $$\sum_{i=0}^{k}\left(-1\right)^{i}a_{i}sin\left(\frac{2i+1}{2l+1}\frac{2\pi}{4}\right)=\mathbb{R}\left(\frac{1}{4\left(2l+1\right)}\right).$$

Рис. 8. Вторая гармоника.

Рис. 9. Третья гармоника.

$\mathbb{R}\left(t\right)$ также является гипераналитической функцией, поскольку имеет место следующая аппроксимация: $$\begin{equation} \alpha_{eff}\left(t,\tau\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\alpha^{(2k+1)^{2}}sin\left(2\pi\left(2k+1\right)t\right) \label{e6} \end{equation}$$

Появление ПТС в разложениях гипераналитической решётчатой функции $\mathbb{R}\left(t\right)$ обусловлено периодичностью времени. Периодичность времени описывается антисимметричной функцией от x.

Также как и в случае пространства возможно обобщить полученное разложение на трёхмерное время поскольку не имеется каких-либо формальных ограничений для аналогичного обобщения. Однако, исходя из принципа соответствия, одномерное время должно быть обобщено на цилиндрическое «правое-левое» время частицы, в котором дискретный переход «вперёд или назад вдоль оси времени» совмещён с «поворотом вправо или влево вокруг оси времени на 180 градусов».

Необходимость такого обобщения обусловлена тем, что из (7) следует: $\sin\left(2\pi t\right)\simeq-\frac{\alpha_{eff}\left(t,\tau\right)}{\alpha}.$

В то же время из определения $\mathbb{R}\left(t\right)$ видно, что наиболее низкочастотная пара аппроксимируется следующим образом: $$\sin\left(\pi t\right)\simeq- m\left[\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t+1/4}{\tau}\right)^{2}\right)-\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{t-1/4}{\tau}\right)^{2}\right)\right],$$ где $m$ - нормировочный множитель. Отсюда видно, что фактическая «локальная частота» $\mathbb{R}\left(t\right)$ в два раза меньше наблюдаемой «групповой частоты» $\alpha_{eff}$. Кроме того, обобщение на «правое-левое» время позволяет увидеть, что изменение $\mathbb{R}\left(t\right)$ во времени фактически обусловлено как движением вдоль оси t, так и одновременным вращением вокруг этой оси.

Примечания

АРыбников (обсуждение) 16:39, 3 декабря 2019 (UTC)