Коэффициенты фурье

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса).

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$, а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

• Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега^[en]).
• Если функция $f$ принадлежит классу $C^{(k)}([-\pi,\pi])$, то есть дифференцируема $k$ раз и её $k$-я производная непрерывна, то $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$
• Если ряд $\sum n^{\alpha}\hat{f}_n$ сходится абсолютно, то $f$ совпадает почти всюду с функцией класса $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ при всех $k$.
• Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\alpha>1/2$, то ряд $\sum \hat{f}_n$ сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
• Если $\hat{f}_n=O(a^n),0$, то тригонометрический ряд Фурье сходится к аналитической функции.^[?]

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила БернуллиFetter & Walecka 2003, pp. 209—210. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовать в Аналитической теория тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле и Бернхард Риман выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрику, теории перекрытия-оболочки и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])$ (то есть функции, суммируемой на промежутке $([-\pi,\pi])$, или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида $$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),$$(1)

где $$a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,$$ $$a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,$$ $$b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,$$ Числа $a_0$, $a_n$ и $b_n$ ($n = 1, 2, \ldots$) называются коэффициентами Фурье функции $f$. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию $f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_0$, $a_n$ и $b_n$. Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi,\pi]$, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_k$. Аналогично для $b_k$.

Ряд (1) для функции $f$ из пространства $\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через $S_k(x)$ частичные суммы ряда (1): $$S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),$$

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю: $$\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0.$$

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство $\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ комплекснозначных функций со скалярным произведением $$\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.$$

Мы также рассматриваем систему функций $$\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}.$$

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ может быть разложена по ним в ряд Фурье: $$f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx},$$

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$. Здесь $$\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.$$

Коэффициенты $\hat{f}_k$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями: $$\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0$$ $$\hat{f}_0 = a_0/2$$ $$\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k$$ $$a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0$$ $$b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0$$

Для вещественнозначной функции коэффициенты $\hat{f}_k$ и $\hat{f}_{-k}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^2[-\pi,\pi]$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ в гильбертовом пространстве $H$ и $f$ — произвольный элемент из $H$. Предположим, что мы хотим представить $f$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{\varphi_k\}$: $$f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.$$ Домножим это выражение на $\varphi_k$. С учётом ортогональности системы функций $\{\varphi_k\}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$: $$(f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2.$$ Числа $$c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}$$ называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{\varphi_k\}$, а ряд $$\sum_k c_k \varphi_k$$ называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{\varphi_k\}$.

Ряд Фурье любого элемента $f$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве $H$, но его сумма не обязательно равна $f$. Для ортонормированной системы ${\varphi_k}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

• система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
• система является полной, то есть в $H$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ одновременно.
• система является замкнутой, то есть для любого $f\in H$ выполнено равенство Парсеваля

$$\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2 = \|f\|^2.$$

• линейные комбинации элементов $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ плотны в пространстве $H$.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя: $$\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2.$$

Примеры  

Тригонометрические функции $\sin(kx)$, $\cos(kx)$ образуют базис гильбертова пространства $L_2[-\pi,\pi]$. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций $\cos(kx)$ - это все четные функции из $L_2$, а замыкание линейной оболочки функций $\sin(kx)$ - все нечетные функции. Результатом разложения функции $f$ в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции $f$: $$\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2},$$ $$\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$. Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди $H_2$. Элементы этого пространства -- те и только те функции $f\in L_2$, которые имеют вид $f(t)=g(e^{it})$, где $g$ — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге $|z|$

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через $S_N(f,x)$ частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$: $$S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}.$$ Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_N(f,x)$ к функции $f(x)$ в различных смыслах. Функция $f$ предполагается $2\pi$-периодической (если она задана только на промежутке $[-\pi,\pi]$, её можно периодически продолжить).

• Если $f\in L_2([-\pi,\pi])$, то последовательность $S_N(f,x)$ сходится к функции $f(x)$ в смысле $L_2$. Кроме того, $S_N(f,x)$ являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_2$) приближением функции $f$ тригонометрическим многочленом степени не выше $N$.
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_0$ — локальное свойство, то есть, если функции $f$ и $g$ совпадают в некоторой окрестности $x_0$, то последовательности $S_N(f,x_0)$ и $S_N(g,x_0)$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_0)$. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$ задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке $x_0$, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_0)$. Это следует из того, что для непрерывной в $x_0$ функции $f$ последовательность $S_N(f,x_0)$ сходится по Чезаро к $f(x_0)$.
• Если функция $f$ разрывна в точке $x_0$, но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_0+0)\neq f(x_0-0),$ то при некоторых дополнительных условиях $S_N(f,x_0)$ сходятся к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если $f\in L_2([-\pi,\pi])$, то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$. Однако, существуют функции из $L_1([-\pi,\pi])$, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым).
• Зафиксируем точку $x_0\in(-\pi,\pi)$. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-\pi,\pi])$. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

См. также

• Преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Тригонометрический ряд
• Признак Жордана
• Признак Дини
• Числовой ряд
• АТС теорема
• Гармонический ряд звуков
• Явление Гиббса

Литература

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.^{о книге}
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.^{о книге}
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. Т. 2. — М.: «Наука», 1964.^{о книге}
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. — М.: «Мир», 1965.^{о книге}

Ссылки

"Представление периодических сигналов. Ряд Фурье". 

"Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье".